Il s'agit de Recherches sur les courbes à double courbure, Paris, 1731, alias C. 1 (Taton 76).

Clairaut en avait déjà entretenu l'Académie (cf. 17 et 24 avril 1728).

Réaumur évoquera cet examen le 28 août (cf. 28 août 1729 (2)).

Dortous de Mairan et Nicole remettront leur rapport le 20 août 1729, rapport certifié par Fontenelle le 23 août 1729. L'ouvrage sera approuvé le 3 juin 1730 et paraîtra en janvier 1731 (cf. [Janvier] 1731 (2)). Trois exemplaires à destination de la Bibliothèque du Roi seront retirés de la chambre syndicale des libraires le 22 mai 1731.

Peu après cette présentation de C. 1, Clairaut sera proposé comme membre de l'Académie (cf. 7 septembre 1729) ainsi que cela avait été tacitement convenu avec Maurepas (cf. 22 décembre 1728).

C. 1 est étudié par Le Goff (Le Goff 93a) qui remarque que l'étude des courbes à double courbure est motivée par Pitot, auteur de l'appel suivant :
Peut-être que ces sortes de courbes à double courbure, ou posée sur la surface des solides, seront un jour l'objet des recherches des géomètres (Pitot 24).

Clairaut fait implicitement référence à ce mémoire dans sa préface de C. 1 :
J'ai cru devoir appeler ces sortes de courbes, courbes à double courbure, parce qu'en les considérant de la façon qu'on vient de dire, elles participent pour ainsi dire toujours de la courbure de deux courbes, et c'est même le nom qu'on leur donne dans un mémoire de l'Académie royale des sciences où on les propose comme un sujet d'étude digne des recherches des géomètres (C. 1, non paginé).

Pitot était le rapporteur des deux premières interventions de Clairaut (cf. 18 mai 1726 et 24 avril 1728).

C. 1 se trouvait en nombre à la Canebière (Mossy 54).

Un exemplaire de C. 1 se trouvait dans la bibliothèque de Lebey continuée par Saint-Vandrille (Labey 39, p. 52).

C. 1, et plus globalement l'histoire des courbes à double courbure, est également étudié dans (Delcourt 07).