Il s'agit de « Sur quelques principes qui donnent la solution d'un grand nombre de problèmes de dynamique », HARS 1742 (1745), Hist. p. 123, Mém. pp. 1-52, 5 pl., alias C. 30.

Clairaut continuera la lecture de C. 30 les 6 (cf. 6 mars 1743 (2)), 13, 16, 20, 23 et 30 mars, 3 et 6 avril 1743 (cf. 6 avril 1743 (2)).

Un manuscrit de C. 30 se trouve sur les PV à la suite de la séance du 6 avril (PV 1743, 205*-239*+3pl.).

Clairaut avait pris date pour ce mémoire en 1740, 1741 et 1742 (cf. 23 décembre 1740, 23 décembre 1741 (2), 22 décembre 1742).

Le volume de 1740 avait paru en 1742.

En introduction, Clairaut indique :

Les problèmes que je donne dans ce mémoire m'ont presque tous été proposés par les savants MM. Bernoulli et Euler. Comme j'ai été obligé pour les résoudre, de me servir de plusieurs principes qui peuvent être employés très utilement dans la plupart des problèmes de dynamique, et que ces principes sont ou entièrement nouveaux, ou du moins perfectionnés et étendus, j'ai cru qu'il serait utile de les lire à l'Académie (C. 30).

Clairaut avait évoqué C. 30 dans sa correspondance avec Euler (cf. 26 décembre 1740, (6 mars) 24 février 1741 (1), 12 avril 1741 (2), 28 décembre 1742) et MacLaurin (cf. 18 septembre 1741).

Il l’évoquera de nouveau dans sa correspondance avec Euler (cf. 23 avril et 7 septembre 1743).

À partir du 24 novembre 1742, d'Alembert avait commencé la lecture de ce qui deviendra son Traité de dynamique, Paris, 1743 (2e éd. Paris, 1758) et avait poursuivi cette lecture les 28 novembre, 1, 5, 15 décembre 1742, 9, 16, 23, 27 février 1743 (PV 1742, pp. 424, 436, 437, 438, 457 ; PV 1743, pp. 103, 111, 117, 123-124). D'Alembert n’est pas reporté présent (PV 1743, p. 151) lors de cette séance qui va amener une vive réaction de sa part (cf. 6 mars 1743). Il pourrait être absent pour cause de grippe (Badinter 99-07, vol. 1, p. 254).

C. 30 est mentionné dans le Journal des sçavans, mars 1746, pp. 161-162.

D’Alembert dans l’article « Dynamique » de l’Encyclopédie :

MM. Clairaut, de Montigny, et d'Arcy, ont aussi imprimé dans les Mémoires de l'Académie des sciences, des solutions de problèmes de dynamique ; et le premier de ces trois géomètres a donné dans les Mém. acad. 1742, des méthodes qui facilitent la solution d'un grand nombre de questions qui ont rapport à cette science. J'ai fait imprimer en 1743 un Traité de dynamique, où je donne un principe général pour résoudre tous les problèmes de ce genre (« Dynamique », Encyclopédie, vol. 5, pp. 174-176).

D’Alembert dans l’article « Conservation des forces vives » de l’Encyclopédie :

Dans les Mém. de l'Académie des sciences de 1742, M. Clairaut a démontré aussi d'une manière particulière le principe de la conservation des forces vives; et je dois remarquer à ce sujet, que quoique le mémoire de M. Clairaut soit imprimé dans le vol. de 1742, et que mon Traité de dynamique n'ait paru qu'en 1743, cependant ce mémoire et ce traité ont été présentés tous deux le même jour à l'académie (« Conservation des forces vives », Encyclopédie, vol. 7, pp. 114-116).

Dominique Tournès :

Dans les Mémoires de l’Académie royale des sciences de Paris de l’année 1742, qui ont été publiés en 1745, on trouve un mémoire de Clairaut [C. 30] intitulé « Sur quelques principes qui donnent la solution d’un grand nombre de problèmes de dynamique ». Dans ce long texte de 52 pages, illustré de 32 figures, il y a une page et une seule, la page 9, où il est question du mouvement tractionnel. […] Parmi d’autres problèmes de dynamique, Clairaut s’intéresse au mouvement composé d’un corps qui tombe par son propre poids le long d’un tube de forme donnée pendant que ce tube se meut lui-même d’une manière quelconque. Dans le cas assez simple d’un tube rectiligne tournant sur un plan horizontal autour d’un point fixe, on aboutit à l’équation différentielle T²dt = p²dt + dp, où T est une fonction quelconque de t. Clairaut rappelle qu’aucun géomètre n’a pu en séparer les indéterminées en dehors de quelques cas particuliers, et enchaîne en faisant référence à Euler : « M. Euler est le seul, que je sache, qui en ait donné une construction générale ; & quoique cette construction n’ait pas tout l’avantage de celles qui sont fondées sur la séparation des indéterminées, elle est cependant digne de son sçavant auteur. Comme elle est très peu connue des Géomètres, je la mettrai ici. » […] Par ces quelques lignes, Clairaut résume de manière claire et concise, avec des variantes infimes dans la présentation et les notations, la construction tractionnelle d’Euler pour l’équation de Riccati la plus générale. Il est évident que Clairaut vient tout juste de lire le mémoire d’Euler de 1736 [« De constructione æquationum ope motus tractorii aliisque ad methodum tangentium inversam pertinentibus », Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ, 8 (1736), 1741, p. 66-85] qui, rappelons-le, est paru seulement en 1741 (Tournès 04, pp. 96-97).

Dominique Tournès remarque également que C. 30 a inspiré (Riccati 52) (cf. 1752 (2)).