Il s'agit de « Solutions de plusieurs problèmes, où il s'agit de trouver des courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimées par une équation donnée », HARS 1734 (1736), Mém. pp. 196-215, alias C. 10 (Taton 76).

C’est dans ce mémoire, pp. 210, 213 qu’apparaît pour la première fois l’ « équation de Clairaut » (Greenberg 95, pp. 389, 692).

C. 10 est mentionné dans le Journal des sçavans, juillet 1738, p. 426.

Cette lecture marque le début d'une longue dispute avec Fontaine (cf. 21 janvier 1735).

D’Alembert évoquera C. 10 dans sa correspondance avec Lagrange (cf. 14 février 1777) et dans le vol. 10 de ses Opuscules, paru en 1780 :

J’ai remarqué dans cet endroit [(Alembert 61-80, vol. 1, p. 244)] que j’avais donné le premier en 1747, un théorème général sur les équations différentielles qui appartiennent en même temps à la ligne droite et à une ligne courbe. Je dois ajouter ici que M. Clairaut, dans les Mém[oires] de l’Acad[émie] de 1734, avait déjà trouvé des équations différentielles qui sont dans ce cas, comme on peut le voir, pag. 212 et 213 de ces mémoires. Mais il me semble qu’il n’avait pas donné la forme générale des ces équations, que j’ai trouvée d’une manière fort simple dans les Mém[oires] de Berlin de 1748. Je crois devoir faire ici cette remarque afin de rendre à chacune ce qui lui appartient. J’ajoute que cette théorie des équations différentielles qui appartiennent à la fois à une ligne droite et à une ligne courbe, est une branche de la théorie plus générale des équations différentielles qui ont des intégrales particulières, et dont d’autres géomètres se sont occupés depuis. Mais j’avoue qu’en donnant le théorème dont il s’agit dans les Mém[oires] de Berlin de 1748, je ne pensais point alors à la théorie des intégrales particulières, dont M. Clairaut paraît avoir eu en effet la première idée. La seule chose qui m’appartienne, c’est d’avoir donné dès 1747, la forme générale des équations différentielles du premier ordre, qui appartiennent à la fois à une ligne droite et à une ligne courbe (Alembert 61-80, vol. 10, pp. 323-324).

Lagrange :

Dans un mémoire de feu M. Clairaut, imprimé par ceux de l’Académie des sciences de Paris pour l’année 1734 [C. 10], on trouve cette remarque singulière, qu’il y a des équations différentielles qu’on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l’intégration, quoique d’ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très bien les problèmes géométriques qui conduisent à ces équations (voyez les mémoires de 1734, p. 209 et suiv.). […] Mais ni M. Clairaut ni M. Euler n’avaient encore cherché les moyens de reconnaître a priori si une équation finie qui satisfait à une équation différentielle donnée est comprise ou non dans l’intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale (Lagrange 67-92, vol. 4, pp. 5-6).

Bossut :

Dans un mémoire sur les courbes dont la nature est exprimée par une relation donnée entre leurs branches [C. 10], Clairaut fut conduit à des équations différentielles du premier ordre,dont la propriété est telle, qu’on y peut satisfaire par des expressions qui ne sont pas comprises dans l’intégrale complète [L’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre doit toujours renfermer, dans sa généralité, une constante arbitraire, qui, pouvant recevoir différentes valeurs, produit différentes intégrales, qu’Euler appelle intégrales particulières, mais que l’usage le plus ordinaire est d’appeler intégrales incomplètes. On réserve la dénomination intégrales particulières, pour désigner les solutions singulières qui ne sont pas comprises dans l’intégrale complète NDA]. Il regarda comme une nouveauté dans l’analyse les solutions singulières de ses équations, et surtout la manière de les trouver par la différenciation de l’équation proposée. Sans doute il ignorait que Leibniz et Jean Bernoulli avaient considéré depuis longtemps de semblables équations (Bossut 10, vol. 2, pp. 126-127).