Il s'agit des Elémens de géométrie, Paris David fils, 1741, alias C. 21, ou Lambert & Durand, 1741, alias C. 21 bis (Taton 76).

Issu des leçons de Clairaut à la marquise du Châtelet, le manuscrit de C. 21 avait été présenté à l'Académie une première fois avant le voyage au Nord (cf. (cf. 18 avril 1736 (2)).

Voltaire l'avait recommandé au prince Frédéric bien avant qu'il ne soit achevé (cf. [c. 20 novembre 1739]).

Fontenelle donne un extrait du rapport académique de C. 21 le 14 décembre 1740.

C. 21 n'est publié qu'à l'été 1741 (cf. [c. août 1741]).

La première édition connaît une reproduction en fac-similé, C. 21', en 2006 (cf. 2006 (1)).

Une deuxième édition, C. 21² et C. 21² bis, parait en 1753 (cf. 1753 (1), 1753 (2)). Elle connaît une reproduction en fac-similé, C. 21^2', en 1987 (cf. 1987 (1)).

Une troisième édition, C. 21³ et C. 21³ bis paraît en 1765 (cf. 1765 (1), 1765 (2)).

Une quatrième édition, C. 21⁴, paraît en 1775 (cf. 1775 (1)).

Une cinquième édition, C. 21⁵, paraît en 1830 (cf. 1830 (1)).

Une sixième édition, C. 21⁶, C. 21⁶ bis, C. 21⁶ ter et C. 21⁶ quater, paraît en 1852, 1853, 1857 et 1861 (cf. 1852 (1), 1853 (1), 1857 (1), 1861 (1)).

Une septième édition, C. 21⁷, paraît en 1853 (cf. 1853 (2)).

Une huitième édition, C. 21⁸, paraît en 1920 (cf. 1920 (1)).

Une traduction en suédois, C. 21A, paraît en 1744. Clairaut l'a reçue au 1 décembre 1744. Elle connaît une réédition, C. 21A², en 1760 (cf. 1760 (6)).

Une traduction latine, C. 21B, paraît en Italie en 1749 (cf. 1749 (2)).

Une traduction italienne, C. 21C, paraît en 1751 (cf. 1751 (1)). Elle est suivie d'une réédition, C. 21C², en 1771 (cf. 1771 (1)), d'une seconde traduction, C. 21C³, en 1870 (cf. 1870 (1), elle-même suivie d'une réédition, C. 21C⁴, en 1885 (cf. 1885 (1)).

Une traduction allemande, C. 21D, paraît en 1753 (cf. 1753 (3)). Elle est suivie d'une réédition, C. 21D², en 1773 (cf. 1773 (1)), de deux rééditions non attestées, C. 21D³ et C. 21D⁴, (cf. Sans date (23), Sans date (24)), et d'une « cinquième édition », C. 21D⁵, en 1790 (cf. 1790 (2)).

Une traduction hollandaise, C. 21G, paraît en 1760 (cf. 1760 (5)). Elle est suivie d'une réédition, C. 21G², en 1792 (cf. 1792 (1))).

Une traduction polonaise, C. 21E, paraît en 1772 (cf. 1772 (1)). Elle est suivie d'une réédition, C. 21E², en 1856-1857.

Une traduction anglaise, C. 21 F, paraît en 1836 (cf. 1836 (1)). Elle est suivie des rééditions C. 21F² en 1846 (cf. 1846 (1)), C. 21F³ en 1851 (cf. 1851 (1)), C. 21F⁴ en 1852 (cf. 1852 (2)), et C. 21F⁵ en 1881 (cf. 1881 (1)).

Clairaut rédigera aussi les Éléments d'algèbre (C. 31), un second traité élémentaire (cf. 4 août 1745) et projettera une Application de l'algèbre à la géométrie qui ne verra jamais le jour (cf. 13 octobre 1750, [c. janvier 1751], 18 décembre 1754).

Clairaut réserve deux exemplaires de C. 21 pour Voltaire et la marquise du Châtelet (cf. 5 septembre 1741, [c. septembre 1741]).

L'exemplaire de Cramer est conservé à BGE sous la cote Ka 154.

Selon Daniel Bernoulli, Clairaut a reçu mille ou deux mille livres du libraire pour son manuscrit (cf. 29 octobre 1741).

Trois exemplaires de C. 21 à destination de la Bibliothèque du Roi sont retirés de la chambre syndicale des libraires le 21 novembre 1741.

Clairaut présente la version imprimée à l'Académie le 22 novembre 1741.

C. 21 est dédicacé à Maurepas :
À Monseigneur le comte de Maurepas, ministre et secrétaire d'état, commandeur des ordres du Roi.C'est peut-être oublier la supériorité de vos connaissances, que de vous présenter des Éléments de géométrie ; mais c'est connaître vos vues que de vous offrir quelque chose d'utile. Je ne dois donc point appréhender de mettre sous votre protection un ouvrage qui contient les principes d'une science dont vous partagez nécessairement les succès. Je vous supplie très humblement, Monseigneur, de l'accepter, comme un hommage de ma reconnaissance, et comme une preuve du profond respect avec lequel je suis, Monseigneur, votre très humble et très obéissant serviteur Clairaut (C. 21, non paginé).

Maurepas recommande l'utilisation de C. 21 pour l'instruction des gardes de la Marine à Toulon (cf. 3 décembre 1741, 13 janvier 1742, 1 février 1742).

C. 21 est évoqué dans la foulée de C. 31 dans une lettre à Euler du 23 novembre 1745 (1), dans le rapport académique concernant C. 31 (cf. 20 juillet 1746 (2)), lors de sa sortie (cf. [c. 4 août 1745]).

C. 21 est remarqué par Condillac (cf. 6 juillet 1747).

Clairaut sera heureux que Bossut ait apprécié C. 21 (cf. 4 février 1751).

Hullon soigne sa mâchoire d'âne grâce à C. 21 (cf. 5 avril 1754 (1) ).

Clairaut conseille C. 21 à Louis Antoine de Bougainville (cf. 9 avril 1755 (2)).

Mayer donnera à Göttingen des cours basés sur C. 21 le semestre d'été 1755 de 5 à 6 heures (Forbes 80, p. 108).

Voltaire est heureux que La Chalotais rende justice à Clairaut sur C. 21 (cf. 28 février 1763).

Le libraire Durand possédait des exemplaires de C. 21 en stock à son décès (cf. 19 mai 1763 (1)).

Dans son Astronomie, Lalande suit aussi la route des inventeurs (cf. 14 avril 1764).

Voltaire cherche à se procurer un autre exemplaire le 21 mars 1768.

C. 21 se trouvait en nombre à la Canebière (Mossy 54).

Un exemplaire de C. 21 se trouvait à la Bibliothèque Mazarine du vivant de Clairaut (cf. 1760 (9)).

Deux exemplaires de C. 21 se trouvaient en possession de Panckoucke le père (cf. 5 novembre 1753).

Un exemplaire de C. 21 se trouvait dans la bibliothèque de Morel (Morel slnd, p. 45), de Cantemir (Cantemir 45, p. 14), de Davy de la Fautrière (Davy de la Fautrière 56), de Perrot (cf. 22 janvier 1776), de Perrinet de la Serrée (Perrinet de la Serrée 89, p. 13), de Lebey continuée par Saint-Vandrille (Labey 39, p. 50).

Un exemplaire de C. 21³ (ou C. 21³ bis) se trouvait dans la bibliothèque de Malesherbes (Malesherbes 97).

Vers 1765 et en 1773, C. 21, in-8°, se vendait 4 livres 10 sols chez le libraire Robin (Robin 65, p. 7 ; Savoye 73, p. 12).

En 1774, C. 21³ (ou C. 21³ bis) se vendait 5 livres chez le libraire Le Jay (cf. 1774 (2)).

En 1794, C. 21 se vendait 5 livres (cf. 1794 (1)).

Le fonds de librairie de *** en provenance de celui de C[harles] A[ntoine] J[ombert] comprenait 210 exemplaires de C. 21 (Cellot 85).

Mme Roland recopiera C. 21 :
Enfin Rivard m'inspira l'envie de devenir géomètre. Tous ces livres sortaient de chez le bon Moré. Guéring, marbrier et arpenteur, homme sage et doux dans sa simplicité, venant un jour pour entretenir mon père, me trouva tellement collée sur l'in-4° de Rivard que je ne m'étais pas aperçue de son arrivée. Il entra en conversation avec moi, et m'observa que les éléments [C. 21] de Clairaut me conviendraient beaucoup mieux pour les notions que je désirais prendre ; le lendemain il m'apporta l'exemplaire qui était en son pouvoir. Je trouvais véritablement une réduction simple des premiers principes et, combinant à la fois que cet ouvrage m'était utile et qu'il ne convenait point d'en priver le propriétaire aussi longtemps que j'aimerais à le conserver, je pris tout uniment le parti de le copier d'un bout à l'autre, y compris ses six planches. Je ris de cette opération chaque fois que je me la rappelle. Tout autre que moi aurait désirer de faire acheter l'ouvrage, l'idée ne s'en présenta même pas ; celle de le copier me vint aussi naturellement que celle de piquer un patron de dessin et fut presque aussitôt réalisée ; c'était un petit in-8. Je dois avoir encore dans mes paperasses ce plaisant manuscrit [Il y a, au ms 6244, des extraits d'arithmétique, d'algèbre, mais aucun de géométrie NDE] (Roland 05, vol. 2, p. 113).

L'étude de C. 21 a été inscrite dans les programmes officiels en 1852 puis retiré par Duruy 10 ans plus tard (cf. 22 septembre 1863).

La parution de C. 21 a été annoncée dans le Journal des sçavans, septembre 1741, p. 561, dans la Suite de la clef, novembre 1741, p. 342.

Des extraits de C. 21 ont été publiés dans le Journal des sçavans, octobre 1741, pp. 574-581 (Amsterdam, janvier 1742, pp. 3-20), le Journal de Trévoux, décembre 1741, pp. 2277-2280 et avril 1742, pp. 661-669, dans la Suite de la clef, décembre 1741, p. 411-413.

De Mairan dans l'Histoire :
Il y a des Eléments dans lesquels on a joint au théorème ou au problème fondamental, les applications qu'on en peut faire à diverses parties des mathématiques mixtes, à la mesure du terrain et aux arts. Mais nous n'en connaissons point dont la méthode consiste à remonter des applications, de l'usage, et des besoins aux théorèmes ou au problème fondamental, et de là aux axiomes ou premières vérités qui sont la base de la démonstration.C'est sur ce dernier plan que M. Clairaut a donné cette année des Eléments de géométrie au public. Il a suivi en cela sans doute le procédé des premiers inventeurs. Les hommes ont eu des besoins, et ils ont tâché d'y satisfaire longtemps avant que de remonter aux vérités de pure spéculation. Les connaissances secondaires les plus immédiates ont fait d'abord leur objet, et les succès ayant excité leur curiosité, autre besoin à satisfaire, et qui n'est pas le moins pressant pour les esprits d'une certaine trempe, la géométrie et la plupart des sciences qui en dérivent ou qui la supposent, ont avancé et ont enfin été réduites en corps et en règle. Dans les Eléments ordinaires on débute, dit M. Clairaut, par un grand nombre de définitions, de demandes, d'axiomes et de principes préliminaires, qui semblent ne promettre rien que de sec au lecteur. Les propositions qui viennent ensuite ne fixant point l'esprit sur des objets plus intéressants, et étant d'ailleurs difficiles à concevoir, il arrive communément que les commençants se fatiguent et se rebutent avant que d'avoir aucune idée distincte de ce qu'on voulait leur enseigner. La nouvelle méthode de M. Clairaut sauve ces inconvénients par sa facilité, et en tenant toujours l'imagination du lecteur remplie de quelque objet curieux ou utile.
Le plan en est exécuté d'une manière très propre à en faire sentir les avantages [l'historien évoque ensuite (Molières 41) et (La Caille 41), éléments de mathématiques publiés par des académiciens la même année] (HARS 1741 (1744), Hist., pp. 97-98).

La Mettrie dans le Traité de l'âme :
Les géomètres, j'en conviens, manient facilement la vérité ; et ce serait doublement leur faute, s'ils ne savaient pas la vraie méthode pour l'exposer, depuis que le célèbre M. Clairaut a donné ses Éléments de géométrie (car bon Dieu ! avant cet excellent ouvrage, en quel désordre, et quel chaos était cette science). [...] Au contraire cette méthode synthétique, comme l'a fort bien senti M. Clairaut, est la plus mauvaise qu'il y ait pour instruire (La Mettrie 47, p. 181, 208).

Savérien dans l'article « Géométrie » du Dictionnaire universel de mathématique et de physique :
Géométrie élémentaire. […] Aujourd'hui les Eléments les plus estimés (pour les commençants) sont les Eléments d'Euclide, de Deschalles, corrigés par Ozanam [(Euclide 20)], ceux de M. Arnaud [(Arnauld 67)], qui a suivi la méthode scholastique, ceux du P. Bern[ard] Lami [(Lamy 85)], de M. Malézieu [(Malézieu 05)], et ceux de M. Clairaut. Ce sont des éléments de géométrie bien simples que ceux de ce dernier mathématicien. Les principes de cette science y sont développés par la même méthode qui vraisemblablement leur a donné naissance. L'esprit est conduit des objets les plus simples et les plus naturels à ceux qui le sont moins, suivant les progrès des connaissances. On n'apprend rien que ce qu'on eut souhaité d'apprendre. Ce qu'une vérité semble annoncer à l'esprit pour celle qui doit la suivre, est justement placé suivant son ordre dans les Eléments de géométrie de M. Clairaut. Et cette méthode est assurément la vraie pour faire goûter une science, pour en rendre l'étude agréable et intéressante, pour en accélérer les progrès autant qu'il est possible (Savérien 53, vol. 1, p. 459).

De la Chapelle dans l'article « Éléments des sciences » de l'Encyclopédie :
Il y a quelques années que M. Clairaut, de l'Académie des sciences de Paris, publia une géométrie où les propositions ne paraissent qu'à mesure qu'elles sont occasionnées par les besoins des hommes qui les ont découvertes : cette méthode est très lumineuse, et n'a point la sécheresse des précédentes ; mais, outre que l'auteur y suppose quelquefois sans démonstration ce qui à la rigueur pourrait en avoir besoin, les propositions, ainsi que dans toutes les autres méthodes, n'y sont point déduites immédiatement les unes des autres, et forment plutôt un assemblage qu'un édifice de propositions ; cependant une chaîne non interrompue de vérités serait le système le plus naturel et le plus commode, en même tems qu'elle offrirait à l'esprit l'agréable spectacle de générations en ligne directe : or c'est ce que l'on a exécuté dans les Institutions de géométrie, imprimées à Paris en 1746, chez de Bure l'aîné [(Chapelle 46)]. Toutes les propositions de cet ouvrage sont déduites immédiatement les unes des autres, et donnent occasion à la résolution d'un fort grand nombre de problèmes curieux et utiles, ainsi qu'à des réflexions sur les développements de l'esprit humain ; ce qui répand quelque agrément sur une matière qui ne comporte par elle même que trop de sécheresse. Moyennant cet appas ou cet artifice, la géométrie élémentaire a été mise à la portée de la plus tendre enfance, ainsi que l'expérience l'a démontré, et le démontre tous les jours. On désirerait que M. Clairaut, dans les excellents Éléments d'algèbre [C. 31] qu'il a publiés, eût mis les opérations du calcul plus à portée des commençants (Chapelle 55).

Simpson :
Professor Simson (at p. 359. of his Euclid [(Simson 56) ?] has been a little severe upon me, on this head, for attempting to supply, what I thought, a small defect in Euclid. [...] Many other instances might be produced to shew, that this gentlemam, who often appears a little too hasty and severe in his censures, is not, himself, everywhere equally guarded. In Prop. I. Book III. he bids you to draw a straight line within a circle, without specifying that it must terminate in the circumference ; and, what is a great deal worse, he here very improperly uses the word within ; when the proportion itself is laid down in order to prove, in the fubsequent one. that such line must. necessarily fall within the circle. These are, it is true, but little matters ; but less than these have fallen under this gentleman's notice. At p. 358, M. Clairaut is glanced at, for an inadvertency of this sort (Simpson 60, p. 262) (Douglas Rogers, CP, 19 mars 2009).

La Chalotais :
M. Clairaut a donné des Eléments de géométrie [C. 21] et d'algèbre [C. 31] dans l'ordre que les inventeurs eussent pu suivre. Il a réuni les deux avantages d'intéresser et d'éclairer les commençants. […] S'il peut y avoir quelque art d'inventer, il consiste dans l'habitude et dans l'exercice de l'invention. Au lieu de résoudre des problèmes, que l'on s'accoutume à les deviner : voilà pourquoi je préférerais les Éléments de géométrie et d'algèbre, de M. Clairaut, qui sont trop négligés par les maîtres, et qui mèneraient les enfants par la route que la nature a indiqué elle-même (La Chalotais 63, pp. 100, 174).

Voltaire, dans l'article « Géométrie » du Dictionnaire philosophique :
Géométrie. Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens les éléments de la géométrie ; il voulut remonter à la source, et suivre la marche de nos découvertes et des besoins qui les ont produites. Cette méthode paraît agréable et utile ; mais elle n'a pas été suivie : elle exige dans le maître une flexibilité d'esprit qui sait se proportionner, et un agrément rare dans ceux qui suivent la routine de leur profession. [...] Je puis toujours diviser un nombre par la pensée ; mais suit-il de là que ce nombre soit infini ? Aussi Newton, dans son calcul intégral et dans son différentiel, ne se sert pas de ce grand mot ; et Clairaut se garde bien d'enseigner, dans ses éléments de géométrie, qu'on puisse faire passer des cerceaux entre une boule et la table sur laquelle cette boule est posée [Article repris de Questions sur l'Encyclopédie, vol. 6, 1771 NDE] (Voltaire, « Dictionnaire philosophique », Œuvres complètes, éd. L. Moland, 1877-1885, vol. 19, pp. 257-263).

Lalande dans son Astronomie :
Je ne suppose d'autres connaissances que celles des éléments ordinaires de géométrie et d'algèbre [C. 31], tels que ceux de M. Clairaut, les meilleurs que je connaisse, ou d'autres traités élémentaires que l'on trouve en très grand nombre chez les libraires de France et de tout autre pays (Lalande 64, vol. 1, pp. xiv-xv ; Lalande 92, vol. 1, p. vii).

Diderot dira le plus grand bien de C. 21 dans son Plan d'une université et promet de les envoyer au général Betski (cf. 10 août 1749 (3)).

Lacroix dans son Essai sur l'enseignement :
Les Éléments de géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans cette circonstance [apprentissage de la géométrie par les applications, ainsi que Rousseau l'évoque vers la fin du 2e livre de l'Émile], car il ne faut pas de livre pour l'élève ; et il me semble presque impossible d'en faire pour le premier âge, dans quelque science que ce soit. Le défaut de rigueur dans les démonstrations et le peu d'étendue de cet ouvrage, n'ont pas permis sans doute qu'il devînt classique ; mais ces omissions, qui ont des inconvénients à l'égard des élèves dont la raison est déjà formée, sont précisément ce qui le rend propre à l'enfance (Lacroix 05, pp. 343-344).

Stendhal dans la Vie de Henri Brulard :
Nous suivions le plat cours de Bézout, mais M. Dupuy eut le bon esprit de nous parler de Clairaut [C. 21 ?] et de la nouvelle édition que M. Biot (ce charlatan travailleur) venait d'en donner. Clairaut était fait pour ouvrir l'esprit, que Bézout tendait à laisser à jamais bouché. Chaque proposition dans Bézout a l'air d'un grand secret appris d'une bonne femme voisine (Stendhal 27, vol. 2, p. 15).[Chabert] estimait Clairaut et c'était une chose immense que de nous mettre en contact avec cet homme de génie, et nous sortions un peu du plat Bézout (Stendhal 27, vol. 2, p. 52).

Stendhal recommandera d'étudier Clairaut dans son Projet d'un collège des pairs (Stendhal 33, p. 76).

Auguste Comte apprécie C. 21 (cf. 24 mars 1851 et 2 mars 1852) qu'il inclut dans le catalogue de la bibliothèque positiviste (Comte 91, p. 34).

Lacroix :
La marche [que Clairaut] avait tracée [dans C. 21] ne fut pourtant pas suivie par ses contemporains (Lacroix 54).

Bouillet :
Géométrie. […] Les meilleurs traités de géométrie pour les classes sont les Éléments de géométrie de Clairaut, de Lacroix, ceux de Legendre (revus par M. Blanchet), de MM; Vincent, Lionnet, Tresca, Olivier, Sonnet etc (Bouillet 54, p. 746).

Élie de Beaumont dans son Éloge de Legendre :
Mais quelque fût le succès des ses Éléments [Legendre 94], M. Legendre ne révoquait pas en doute qu'on pût en composer également de très bons suivant d'autres méthodes, et lui-même, il contribua en 1802 [!] à la publication d'une nouvelle édition des Éléments de géométrie de Clairaut, à laquelle il ajouta des notes tirées peut-être de ses cahiers de l'École militaire (Elie de Beaumont 61, p. 24).

Issaurat :
Clairaut a donné, dans ses Éléments de géométrie, l'exemple d'une méthode qui ne s'applique pas seulement aux mathématiques, mais à toutes les branches des connaissances humaines, comme l'a montré Condillac, comme l'ont pensé la plupart des philosophes du siècle dernier. La Mettrie en a fait l'éloge « Ce serait doublement leur faute, aux géomètres, s'ils ne savaient pas la vraie méthode d'exposer la vérité, depuis que le célèbre M. Clairaut a donné ses Éléments de géométrie (car, bon Dieu ! avant cet excellent ouvrage, en quel désordre, et quel chaos était cette science !) » [Traité de l'âme NDE]. Voltaire écrivait à La Chalotais [le 28 février 1763] « Vous rendez justice à M. Clairaut, en recommandant ses Éléments de géométrie qui sont trop négligés par les maîtres, et qui mèneraient les enfants par la route que la nature a indiquée elle-même. »
Clairaut s'était adonné de très bonne heure à l'étude des mathématiques, et l'Académie des sciences, pour l'admettre dans son sein presque au sortir du collège, lui accorda une dispense d'âge.
Il se livra, avec ardeur, à la solution des problèmes les plus difficiles. Il appliqua son fameux Problème des trois corps à la détermination du retour prochain de la comète de Halley. Il fut aidé, dans les immenses calculs qu'exigeait ce travail, par Lalande, et, dit Delambre, par plusieurs dames [cf. Juin 1757 (2)].
Il parait, s'il faut en croire la notice que Diderot et Grimm ont consacrée à Clairaut [cf. 1 juin 1765], et où, par parenthèse, on trouve un éloge médiocre des mathématiques, il parait, disons-nous, qu'il avait appris assez de géométrie à sa « jolie gouvernante » pour s'en faire aider dans ses calculs.
Les Éléments de géométrie furent composés par « le beau » Clairaut pour « la belle Émilie ». Pensant, comme il le dit dans sa préface, que les premiers pas dans cette science avaient dû être faits pour répondre à certains besoins, et que « ces premiers pas ne pouvaient pas être hors de la portée des commençants, puisque c'étaient des commençants qui les avaient faits », il remonta « à ce qui pouvait avoir donné naissance à la géométrie », et il en développa ainsi « les principes par une méthode assez naturelle, pour être supposée celle des premiers inventeurs ». Il trouva de cette façon le moyen « d'intéresser et d'éclairer les commençants », d'éviter la sécheresse naturelle à cette science abstraite lorsqu'on débute, comme on le fait ordinairement, par des définitions et des axiomes fort difficiles à concevoir, qui fatiguent et rebutent. Les difficultés ne sont pas aplanies par le soin que l'on prend quelquefois de faire suivre chaque proposition de l'usage qu'on en peut faire dans la pratique, « car, chaque proposition venant toujours avant son usage, l'esprit ne revient à des idées sensibles qu^après avoir essuyé la fatigue de saisir les, idées abstraites ».
Clairaut, se souvenant que géométrie signifie mesure de terrain, montre comment les recherches particulières ont conduit peu à peu à des recherches plus générales qui ont fini par constituer une science « d'un objet beaucoup plus vaste que celui qu'on avait embrassé d'abord ». Aussi il ne donne point de proposition sous forme de théorème, il évite les raisonnements subtils sur des propositions que le bon sens suffit à résoudre, et il veut que le « lecteur » soit continuellement occupé à découvrir quelque vérité nouvelle, et aperçoive, à chaque pas, là raison qui la fait découvrir. C'est ainsi qu'on acquiert l'esprit d'invention (Issaurat 86, pp. 177-178).

Tannery :
En même temps qu'il explique comment un triangle est déterminé par la base et les deux angles à la base, Clairaut, dans les Eléments de géométrie, montre comment on peut trouver la distance d'un point inaccessible, en construisant, sur le terrain, un triangle égal à un triangle dont la distance cherchée est un des côtés. Il n'emploie pour cela que des instruments grossiers, faciles à imaginer et à construire. Voilà une petite énigme résolue, qui fixera dans l'esprit de l'élève un des cas d'égalité des triangles. Plus tard le même exemple permettra à Clairaut d'illustrer le cas correspondant dans la théorie de la similitude. C'est là, à ce que je crois, l'ordre des idées où l'on doit se mouvoir avec les débutants.[...]
Ici les maîtres pourraient prendre pour guide les Eléments de géométrie de Clairaut, épouvantail des rigoristes, que je soupçonne de corrompre les éditeurs, afin qu'ils ne fassent point réimprimer ce livre dangereux.
Clairaut a été l'un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle. Ses travaux en astronomie restent fondamentaux. Il aurait été aussi excellent maître d'école qu'il a été profond mathématicien, et ses Eléments de géométrie sont admirables. Le sens qu'il a de ce que les enfants peuvent comprendre ou deviner, et surtout de ce qui peut les intéresser est merveilleux. Son style, sa façon d'expliquer les choses ont peut-être un peu trop vieilli pour qu'on mette son livre entre les mains des enfants, d'autant qu'il ne correspond à aucun programme ; mais je suis convaincu qu'il intéresserait vivement les maîtres, qui en tireraient le meilleur parti [L'édition que j'ai sous les yeux, et qui a été faite par M. Saigey (Hachette, 1852) est du format in-12 [C. 21⁶]; elle contient 128 pages NDA].
[...]
« On me reprochera peut-être, dit Clairaut, en quelques endroits de ses Eléments, de m'en rapporter trop aux témoignages des yeux et de ne m'attacher pas assez à l'exactitude rigoureuse des démonstrations. Je prie ceux qui pourraient me faire un pareil reproche, d'observer que je ne passe légèrement que sur des propositions dont la vérité se découvre, pour peu qu'on y fasse attention. J'en use de la sorte, surtout dans les commencements où il se rencontre plus souvent des propositions de ce genre, parce que j'ai remarqué que ceux qui avaient de la disposition pour la géométrie se plaisaient à exercer un peu leur esprit, et qu'au contraire ils se rebutaient, lorsqu'on les accablait de démonstrations pour ainsi dire inutiles. »
Je partage entièrement ces vues de Clairaut ; il me sera sans doute permis d'ajouter que je sais tout le prix de la rigueur, et que, assurément, plus vite on y habitue les enfants, mieux cela vaut (Tannery 12, pp. 225, 242-243) (Pierre Crépel, CP, 2 août 2008).

C. 21 est étudié dans (Lefebvre 23), (Sander 82)...