M[onsieu]r Clairaut lit les remarques suivantes sur les reponses de M[onsieu]r du Quetin [cf. 31 août 1743 (1)], touchant le mémoire de géometrie envoyé pour être mis à la fin du volume de 1741 [cf. 13 juillet 1743 (1)]. [En marge] Dont copie envoyée le 9e. Réponses aux remarques de M[onsieu]r du Quetin. Premiere. Il étoit inutile d'ajouter l'equation yy=ax-xx aux trois ax=yy, aayy/bb=ax-xx, et aayy/bb=ax+xx puisque cette equation est renfermée dans l'equation aayy/bb=ax-xx et qu'il ne faut pour l'en tirer que faire a=b. Seconde. Puisque M[onsieu]r du Quetin sçavoit que toutes les courbes d'un degré impair ont des branches qui s'étendent à l'infini, il ne devoit donc pas dire que les cercles de tous les degrez rentroient en eux mêmes, et il ne pouvoit pas se servir de l'autorité de M[onsieu]r de la Hire ; car quoique cet auteur ait nommé cercles des courbes qui ont une proprieté analogue à celle du cercle ordinaire, il ne donne pas ces courbes comme rentrantes en elles mêmes, et n'a que faire de cette consideration dans son traité, au lieu que M[onsieu]r du Quetin qui ne considere les courbes qu'en vertu de leurs equations, ne sçauroit donner à ses cercles que les figures que demandent leurs equations. On voit assez, ce me semble, par la proposition XVIIIe de M[onsieu]r de la Hire, ce que l'auteur pense des courbes qu'il appelle cercles, lorsqu'il ne donne pas l'arc HLM comme étant de droit de la courbe, mais comme étant formé en portant les ordonnées PN, et PL de l'autre côté. Troisieme. M[onsieu]r du Quetin dit que je lui passe à peine l'énumeration des cercles. Je ne sçais si j'ai eu tort de ne pas m'étendre davantage en approuvant cet article. Ce qu'il y a de certain, c'est que je n'ai eu nulle envie de desobliger cet académicien. Quatrieme. Lorsque j'ai parlé de la génération des paraboles, ellipses, etc. dans le cône, je n'ai pas voulu dire que l'auteur voulut rien enlever à M[onsieu]r Guinée, je faisois remarquer seulement qu'une proposition traitée fort clairement dans un auteur élémentaire, n'étoit guere susceptible d'être inserée dans les mémoires de l'Académie des sciences. [Cinquième.] Pour faire voir que les courbes dont les equations sont y3=(a+x)2x et y3=(a+x)x2 ne sont pas différentes, soit construite la courbe MABN exprimée par la seconde equation y3=(a+x)x2, AB étant = a, AP=x, PM=y. Soit ensuite nommée BQ, z, et QN, u. En cherchant l'équation de la courbe par rapport à ces nouvelles coordonnées, on aura z(a+z)2=u3 qui est la même que y3=(a+x)2x. Donc les deux courbes exprimées par y3=(a+x)2x et y3=(a+x)x2 ne different que parce que les coordonnées n'ont pas la même origine, et on n'a pas plus de raison d'en faire deux courbes differentes, que l'on en auroit de ragarder comme differente le cercle exprimé par aa-xx=yy, et celui qui est exprimé par 2ax-xx=y. Quant à ce que j'ai dit de l'identité des cercles, et des hyperboles impaires, il suffira d'un exemple pour la faire voir. Soit fait dans l'hyperbole précédente y3=axx+x3, AR=t, RO=s on aura pour l'équation entre ces coordonées(a-t)tt=s3 qui est la même que l'équation axx-x3=y3. [Schéma en marge] Sixieme. Lorsque j'ai dit qu'on connoissoit l'énumération des paraboles que M[onsieu]r du Quetin donne, et qu'on la trouvoit dans le marquis de l'Hôpital, c'étoit du traité des sections coniques dont je parlais, et non des infiniments petits. Septieme. Cet article est composé de deux parties dont la premiere demande la même reponse que l'article 4 ; la seconde, la même que l'article 2. Huitieme. Je reponds encore qu'aucun bon geometre n'a regardé les hyperboles uzp=1 et am+nym+n/bm+n=xma+xn comme les mêmes. Le nom d'hyperbole se donne même assez volontiers à toutes les courbes qui ont des asymptotes. M[onsieu]r du Quetin termine sa reponse par un reproche de ce que je me suis plus attaché à relever ce que j'ai cru defectueux dans ce memoire, qu'à en faire valoir ce qui m'a paru éxact. Je suis très mortifié de lui avoir fait de la peine, et je le prie d'excuser ma secheresse. Je suis fort éloigné de mépriser son ouvrage ; mais comme la géometrie a été poussée très loin dans ces derniers temps, et surtout l'éxamen des lignes courbes, je n'ai pas cru que son memoire dut être imprimé, et j'ai été obligé de le dire, en ayant été requis. Ce n'a été que pour motiver ce refus que je me suis plus etendu sur ce que j'ai cru défectueux, que sur ce qui étoit exact, sans être assez neuf aujourd'huy. Dans toute autre occasion j'aurois sûrement cherché à l'obliger (PV 1743, pp. 469-471).
De Ratte envoie la réponse de du Quetin le 12 novembre (cf. 12 novembre 1743 (1)).
Abréviation
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Courcelle (Olivier), « 6 septembre 1743 (1) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n6septembre1743po1pf.html [Notice publiée le 1 mars 2010].
