Messieurs Bouguer, Clairaut, et de la Lande [Lalande] ont parlé ainsi du memoire de Monsieur Perelli sur un problème de catoptrique. Nous avons examiné au nom de l'Academie [cf. 14 janvier 1758 (1)] la solution d'un probleme de geometrie par M. Perelli docteur et professeur d'astronomie dans l'Université de Pise. L'auteur se propose de trouver une infinité de courbes dont chacune soit telle qu'un rayon tombant dans la concavité de la courbe, revienne après une double reflexion au point dont il étoit parti. On sait bien que l'ellipse ordinaire a cette proprieté ; mais une infinité d'autres courbes doivent satisfaire egalement a la question. M[onsieu]r Perelli reduit ingenieusement ce problème au suivant : autour d'un point donné decrire une courbe dans laquelle les normales des deux branches opposées soient toujours sur une même droite. Cette courbe étant trouvée on en deduit par une construction fort simple celle qui satisfait a la question. Pour parvenir a cette courbe generatrice l'auteur en exprime les coordonnées par une fonction de la normale z mais il cherche une fonction telle qu'en y substituant 2 - z a la place de z la fonction ne fasse que changer de signe sans changer de valeur. Cette fonction se trouve composée des puissances de 1 - z et par la les deux branches opposées deviennent une courbe continue et le probleme se trouve resolu avec une tres grande generalité. L'auteur deduit plusieurs corollaires de sa solution principale. Les cas ou un cercle, une ellipse, une parabole satisfont au problême sont renfermés dans le seul premier terme de son équation a laquelle on peut en donner une infinité d'autres. Il trouve que dans toutes les courbes de ce problème la somme du rayon incident et des deux rayons reflechis est une quantité constante ; enfin il observe que dans une de ces familles de courbes le rayon du cercle osculateur est a la normale dans un rapport constant, ce qui est la proprieté des courbes de la plus vite descente dans differentes hypotheses de gravité. Plusieurs geometres se sont exercés sur ces questions ou il s'agit de faire que deux branches de courbes deviennent continuës, nous avons surtout un memoire curieux dans le volume de 1734 ou M. Clairaut a resolu des problemes tres nouveaux dans le même genre [C. 10] ; mais cela n'empeche pas qu'il n'y ait beaucoup de nouveauté et de merite dans le memoire de M. Pirelli. Sa solution est élegante, simple, generale, et elle nous paroit digne d'etre imprimée dans le volume des m[émoi]res presentés a l'Academie (PV 1758, pp. 151-152).
Clairaut mentionne le mémoire de Perelli dans sa lettre à Jacquier du 19 février 175[8].
Abréviations
C. 10 : Clairaut (Alexis-Claude), « Solutions de plusieurs problèmes, où il s'agit de trouver des courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimées par une équation donnée », HARS 1734 (1736), Mém., pp. 196-215 [Télécharger] [30 juin 1734 (1)] [29 avril 1733 (1)] [Plus].
HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Courcelle (Olivier), « 11 février 1758 (1) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n11fevrier1758po1pf.html [Notice publiée le 16 avril 2011].
