M[onsieu]r Clairaut lit à l'Académie le rapport suivant sur le mémoire de M[onsieu]r du Quetin dont il a été fait mention dans les assemblées du 13 et du 24 de ce mois [cf. 13 juillet 1743 (1), 24 juillet 1743 (1)] [En marge : p. 321, 333] Recherches sur les courbes coniques [En marge : Rapport Recherches sur les courbes coniques] L'auteur appelle ainsi les courbes que l'on a lorsqu'on généralise les trois équations y2=ax, aay2/bb=ax-axx et aay2/bb=ax+xx, en formant les trois équations ym+n=amxn, am+n/bm+nym+n=(a-x)mxn, am+n/bm+nym+n=(a+x)mxn. Dans le 1er article il se propose de déterminer le nombre de ces courbes dans chaque degré. Il commence par les courbes qu'il nomme cercles, et qui sont exprimées par l'équation ym+n=(a-x)mxn. Il avance que de quelques degrez qu'ils soient, ils rentrent en eux même, ce qui est faux, puisqu'on sçait que toute courbe d'un degré impair ne sçauroit rentrer en elle même. Ce qu'il dit pour le nombre de ces cercles contenus dans chaque degré m'a paru éxact. Il fait voir que pour trouver le nombre de ces courbes dans un degré quelconque, il faut chercher en combien de manieres on pouvoit former l'exposant de ce degré par la somme de deux nombres premiers entre eux. M[onsieu]r du Quetin fait voir dans le même article que le cone dont la baze seroit exprimée par l'équation ym+n=(a-x)mxn, donneroit par ses differentes sections le ellipses, paraboles et hyperboles representées par les équations ym+n=amxn, am+n/bm+nym+n=(a-x)mxn et am+n/bm+nym+n=(a+x)mxn. Mais cette vérité étoit connüe depuis longtemps ; elle se trouve démontrée dans Guisnée. Il passe de là au nombre des hyperboles ou courbes exprimées par par l'équation am+n/bm+nym+n=(a+x)mxn que contient chaque degré ; il prétend que ce nombre est le double de celui des cercles du même degré ; mais cette proposition est doublement fausse. Car 1°. elle est fondée sur ce que deux courbes de la nature de celles qui sont exprimées par les équationy3=(a+x)2x ; et y3=(a+x)x2 sont différentes. Or il est évident que ces deux courbes ne different que par une transposition d'axe. 2°. Dans tous les degrez impairs les courbes que l'auteur appelle des cercles, sont les mêmes que les hyperboles. Quand au nombre des paraboles, l'auteur s'accorde avec le M. de l'Hôpital, et les autres auteurs qui en ont parlé. Dans l'article 2[n]d M[onsieu]r du Quetin prétend indiquer quelques proprietés simples de croix hyperboliques : il entend par ce terme l'assemblage d'une hyperbole d'un degré quelconque avec celle qui seroit à son égard comme l'hyperbole ordinaire est à sa conjuguée. Il donne la sous tangente, et la position des asymptotes de ces courbes, ainsi qu'on les trouve dans le M. de l'Hôpital, et partout ailleurs ; mais lorsqu'il éxamine la figure et les branches de ces courbes, il se trompe en les supposant toûjours composées de parties égales et semblables, placées des deux côtés de l'axe, car on sçait que cela ne sçauroit être ainsi dans tous les degrez impairs. Quant à l'article 3 où l'auteur prétend relever l'erreur des auteurs infinitaires au sujet des hyperboles, il devient entierement inutile quand on sçait qu'aucun bon géometre n'a confondu, ainsi que l'auteur le croit, les courbes exprimées par l'équation générale xmyn=am+n avec celle que donne l'équation am+n/bm+nym+n=(a+x)mxn. J'ai envoyé copie du rapport ci dessus à M[onsieu]r de Ratte secrétaire de la Société Royale de Montpellier le 29 du courant, pour être communiquée à M[onsieu]r du Quetin conformément aux intentions de l'Académie (PV 1743, p. 349-351).
À Montpellier : Du 8 août 1743. M[onsieu]r du Quetin a lû aujourd'hui un memoire sur la nature des courbes coniques exprimées par l'equation ym+n=(a-x)mxn. Il fait voir que dans un dégré impair elles ont deux branches infinies et deux points singuliers, et que dans un dégré pair, elles rentrent en elles-mêmes et ont deux points singuliers aux extrémités de l'axe. J'ay communiqué à la compagnie le jugement de l'Académie des sciences de Paris sur le memoire de M[onsieu]r du Quetin sur les courbes coniques lû le 28 fevrier dernier. M[onsieu]r du Quetin a lû sa réponse à ce jugement (AD Hérault, D. 120, p. 11). Du 14 août 1743. On a parlé des objections qu'on a faites Paris sur le memoire de M[onsieu]r du Quetin, et des réponses de cet académicien (AD Hérault, D. 120, p. 11). Dortous de Mairan présentera les réponse de du Quetin le 31 août 1743 (cf. 31 août 1743 (1)), entraînant un second rapport de Clairaut le 6 septembre (cf. 6 septembre 1743 (1)).
Abréviations
AD : Archives départementales.
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Courcelle (Olivier), « 27 juillet 1743 (1) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n27juillet1743po1pf.html [Notice publiée le 25 février 2010, mise à jour le 13 juillet 2010].
Du 8 août 1743. M[onsieu]r du Quetin a lû aujourd'hui un memoire sur la nature des courbes coniques exprimées par l'equation ym+n=(a-x)mxn. Il fait voir que dans un dégré impair elles ont deux branches infinies et deux points singuliers, et que dans un dégré pair, elles rentrent en elles-mêmes et ont deux points singuliers aux extrémités de l'axe.
J'ay communiqué à la compagnie le jugement de l'Académie des sciences de Paris sur le memoire de M[onsieu]r du Quetin sur les courbes coniques lû le 28 fevrier dernier. M[onsieu]r du Quetin a lû sa réponse à ce jugement (AD Hérault, D. 120, p. 11).
Du 14 août 1743. On a parlé des objections qu'on a faites Paris sur le memoire de M[onsieu]r du Quetin, et des réponses de cet académicien (AD Hérault, D. 120, p. 11). Dortous de Mairan présentera les réponse de du Quetin le 31 août 1743 (cf. 31 août 1743 (1)), entraînant un second rapport de Clairaut le 6 septembre (cf. 6 septembre 1743 (1)).