Lettre de M. Clairaut à M. Savérien [Nous croyons entrer dans les vues de M. Muller, dont la candeur et l'habileté nous sont également connues, en insérant ici la réponse de M. Clairaut à quelques objections qu'il y a dans cet ouvrage contre sa théorie de la figure de la Terre [C. 29]. En pareil cas, M. de Montmort fit imprimer à la fin de son Analyse des jeux de hasards [(Rémond de Montmort 13)], les lettres que M. Bernoulli lui avait écrites contre cette Analyse et il croyait que sa gloire et le succès de son ouvrage étaient intéressés à cette publication. Ce serait, sans doute, faire injustice à M. Muller, que de ne lui pas attribuer les mêmes sentiments NDE]. Je vous remercie, Monsieur, de la bonté que vous avez eue de me communiquer les réflexions de M. Muller fur ma théorie de la figure de la Terre. Quoiqu'elles ne me paraissent pas de nature à faire impression sur les lecteurs qui entendent la matière, je profiterai cependant de l'offre que vous m'avez faite de faire imprimer ma réponse à la suite de ses objections, afin que l'air d'assurance avec lequel il les présente, n'en impose pas à ceux qui n'ont pas fait d'étude particulière de la question de la figure de la Terre. L'article de mon ouvrage que M. Muller attaque, est, comme vous l'avez vu, celui ou j'examine la figure que la Terre doit prendre dans l'hypothèse de l'attraction newtonienne lorsque toutes les parties sont supposées homogènes. II est étonné que j'aie regardé comme une vérité difficile à démontrer que cette figure doit être celle de l'ellipse d'Apollonius ; et pour justifier son étonnement, il le démontre ainsi en peu de lignes : « Si l'on considère, comme l'a fait M. Newton, que les parties d'un fluide sont attirées vers un point fixe avec des forces égales à des distances égales de ce point, ce fluide formera une sphère. Supposez cette sphère tourner autour de son axe avec une certaine vitesse comparable à celle produite par la force centripète, les rayons de cercles parallèles à l'équateur s allongeront proportionnellement à leur longueur : cela étant voilà l'ellipse démontrée ; et si le chevalier Newton ne la pas démontrée lui-même, c'est qu'il la cru si simple et si palpable, que cela doit sauter aux yeux de tout le monde. » Ce qui me paraît sauter aux yeux de tout le monde, c'est qu'il n'y a pas dans cet argument le moindre germe de la vraie théorie du sujet. Que peut entendre M. Muller par une vitesse comparable à celle produite par la force centripète ? Cette force ne produit de vitesse que lorsque le corps sur lequel elle agit est abandonné à son impulsion. Ici toutes les parties du fluide se tiennent, et n'ont point de chute. D'ailleurs, quel sens donne t'il au mot comparable ? Veut-il désigner de l'égalité par ce mot, ou seulement que l'une des vitesses n'est pas infinie par rapport à l'autre ? Mais prêtons-nous à l'idée de cet auteur, et supposons-lui une théorie qui montre que la rotation tend à allonger tous les parallèles proportionnellement à leur longueur, afin de changer le globe en sphéroïde. Qu'il nous dise donc en même rems où il prendra la matière que cet allongement demande. La rotation ne peut certainement pas le produire. Ne voit-on pas que lorsqu'on vient à faire tourner le globe, il faut qu'il se déprime vers les pôles, pendant qu'il s'élève à l'équateur ? Et comment donc « la vitesse comparable à celle produite par la force centripète » diminuera-t-elle quelques-uns des rayons pendant qu'elle allongera les autres ? Au reste, quel est le géomètre, autre que M. Muller, qui ait cru pouvoir démêler la manière avec laquelle le fluide est parvenu à l'équilibre en tournant ? Huygens, Newton, et tous ceux qui ont traité des figures des planètes, n'ont jamais cherché qu'à faire voir comment l'équilibre pouvait subsister avec telle ou telle figure ; mais ils n'ont point entrepris de calculer les oscillations infinies qui ont dû avoir lieu avant que la masse soit parvenue à un état permanent. II fallait donc, pour que la vérité à démontrer fût aussi palpable que le prétend M. Muller, qu'il trouvât une manière simple de faire voir qu'en chaque point du méridien elliptique, la direction de la pesanteur qui résultait de l'attraction totale et de la force centrifuge, était nécessairement perpendiculaire à la superficie, ou, s'il aimait mieux, que l'équilibre des colonnes quelconques de fluide avait lieu dans la forme elliptique. Pour moi, je me console de n'avoir pu trouver qu'avec peine cette démonstration, lorsque Messieurs MacLaurin, Simpson et Stirling n'y sont parvenus que par des méthodes qui sont aussi compliquées que la mienne. La supériorité de M. Muller sera bien établie lorsqu'il aura résolu la question par une voie aussi courte que celle qu'il a employée, mais il faudra que ce soit en effet une solution. En attendant qu'il nous en donne une, voyons s'il attaque avec plus de succès le calcul par lequel j'ai déterminé les axes de la Terre. Voici comme il l'a compris. II croit qu'après avoir supposé que le rapport de la force centrifuge à la gravité sous l'équateur, est celui de 1 à 289, et en avoir conclu pour les axes un rapport de 231 4/10 à 230 4/10 différent de celui qui avait été trouvé avant moi, j'abandonne en conséquence ma supposition, et que je prends tout simplement et pour ma commodité, le rapport déjà connu de 230 à 231 : que je trouve ensuite par un long circuit l'expression de la force centrifuge qui était impliquée dans le rapport de 231 à 230 que j'avais pris gratuitement pour les axes ; en sorte que je ne fais, suivant lui, que supposer la chose en question et y ajouter du verbiage. Mais si M. Muller était entré le moins du monde dans l'esprit du problème, qu'il eût même celui des méthodes d'approximations (si nécessaire pour un auteur qui enseigne la méthode des fluxions), il eût vu que ce long circuit, qu'il me reproche d'employer pour déterminer la force centrifuge, n'avait pas une ligne de trop en partant des éléments qui étaient donnés. Si j'avais eu par observation la mesure de degré de l'équateur et la longueur du pendule à secondes au même lieu, la valeur de la force centrifuge qui en aurait résulté m'aurait donné immédiatement le rapport des axes par ma formule : mais au défaut des mesures actuelles de ces quantités, j'étais réduit à les conclure des mesures de même espèce que j'avais, et sur l'exactitude desquelles je devais le plus compter, lesquelles étaient la longueur du pendule à secondes, déterminée à Paris par M. de Mairan, et le degré mesuré au Nord. À la vérité, l'opération qu'il fallait employer pour passer de ces éléments à ceux dont j'avais besoin, demandait que l'on connût au moins à peu près le rapport des axes. C'est ce qui fait que j'ai commencé par une première détermination de ce rapport dans laquelle j'ai négligé toutes les petites quantités qui pourraient l'être en pareil cas ; je me suis contenté, par exemple, de faire la force centrifuge égale à 1/289 de la gravité, ainsi qu'on le trouverait si l'on négligeait entièrement la sphéroïdicité de la Terre. Substituant alors la fraction 1/289 à la place de φ dans la formule [maths], j'ai eu pour δ la fraction [maths], dans laquelle j'ai négligé les 4/10, non comme M. Muller se l'est imaginé, pour me conformer au rapport déterminé par M. MacLaurin ; mais parce que les fractions étaient inutiles dans la première détermination. J'aurais pu même, si j'avais voulu, prendre le rapport que Newton avait trouvé par une approximation moins rigoureuse que la mienne, et arriver également à mon second résultat ; mais il était bien plus simple de n'emprunter la première valeur du rapport cherché, que de la même méthode qui en pouvait donner une seconde plus exacte, et même une troisième, quatrième, etc. si l'on voulait pousser plus loin la rigueur du calcul. Dès que j'ai eu une valeur de δ, il m'a été facile, au moyen des formules données dans les pages 193 et 194 de mon ouvrage [C. 29], de rendre la valeur de φ suffisamment exacte, pour que celle de δ qui en résultait fût aussi voisine de la vraie qu'il était possible d'en approcher dans une seconde opération. Cette valeur de φ ainsi corrigée, s'est trouvée 1/287,52, et comme j'y suis parvenu par les formules essentielles au problème, et non par un cercle vicieux, comme se l'est imaginé M. Muller, le rapport des axes, que donne la substitution de cette valeur de φ dans l'équation entre φ et δ fournit une valeur de δ qui ne dépend point d'aucune supposition gratuite, et sur l'exactitude de laquelle aucun géomètre ne saurait avoir de plus grand scrupule que celui d'avoir négligé les troisièmes puissances des très petites quantités φ et δ, scrupule qu'il serait aisé de lever par une troisième opération, mais que personne ne jugera nécessaire, pas même M. Muller, qui ne s'est pas douté seulement que l'on pût pousser l'exactitude jusqu'aux secondes puissances. Au reste, ce qui a pu lui faire prendre tellement le change, en examinant ma solution, c'est que le résultat de ma seconde opération ne s'écarte presque point du tout de la fraction 1/230 que j'avais tiré de la première, mais ce n'est pas ma faute si ce premier résultat s'etait trouvé si près du but. C'en aurait été une très réelle que j'aurais commise, si j'avais cru le rapport 1/230 plus exact que le rapport 1/229, avant d'avoir employé une approximation plus rigoureuse que celle qu'avait employé Nevton en déterminant ce dernier. Au reste, si M. Muller trouve que j'ai fait trop de frais pour déterminer la proportion des axes, qu'il enseigne un chemin plus court, comme il a voulu faire pour la détermination de là nature du méridien, mai$ que ce soit un chemin par lequel on arrive. Quelques considérables que soient les deux méprises de M. Muller dont je viens de parler, il finit ses objections par une troisième erreur qui étonnera davantage ceux qui ont la plus légère teinture de la question. Pour être fondé à rejeter le rapport de 230 à 231, que Messieurs Maclaurin, Simpson et moi avons prétendu être celui des axes de la Terre dans la supposition de l'homogénéité de ses parties, il emploie un raisonnement dans lequel il confond entièrement ce que la théorie seule fait conclure de suppositions qui n'ont peut-être pas lieu dans la nature, avec ce que l'on tire de mesures actuelles qui sont indépendantes de toute théorie. Qu'on jette les yeux, dit-il, « sur la page 194 de la figure de la Terre [C. 29], où M. Clairaut trouve le degré du méridien sus l'équateur de 57 309 toises, ce qui surpasse ce même degré mesuré par Messieurs Bouguer et de La Condamine, de 556 toises ; s'il admet que ses confrères se soient si fort trompés dans leurs mesures, que doit-on croire des mesures du Nord auxquelles il était lui-même employé ! Que M. Muller sait confondre de choses en peu de mots ! II m'attribue d'abord d'avoir conclu le degré du méridien à l'équateur de 57 309. Mais s'il m'avait seulement lu, il aurait vu que c'est du degré de l'équateur même dont je parle ; et pouvais-je parler d'un autre cercle que de celui qui sert à mesurer la force centrifuge ? Or les 57 309 toises que je suppose au degré de l'équateur, ne s'écartent que de 45 toises des 57 309 données par M. Bouguer pour ce même degré. Mais la différence de 556 toises que M. Muller a cru voir si mal à propos, existât-elle, il n'y aurait rien à en conclure contre ma solution. Pourquoi faut-il que le degré de l'équateur que je déduis du degré mesuré au Nord, et de la supposition que la Terre est homogène, soit le même que le degré qui résulte de mesures actuelles. Jetterais-je le moindre doute sur l'opération de mes confrères, ou sur celle à laquelle j'ai eu part, en faisant voir que ces deux opérations ne donnaient pas à la Terre l'aplatissement que l'homogénéité des parties demanderait ? Je ne peux pas croire que M. Muller m'eût attaqué si injustement, et se fut si fort égaré dans toute cette question, s'il l'eût examinée de s[ang] froid. Mais qui peut l'en avoir tiré ? Serait-ce le reproche que je semble faire a Newton de n'avoir pas suivi dans ses recherches sur la figure de la Terre, une méthode aussi rigoureuse que dans les autres sujets qu'il a traités ? II n'y avait rien là, ce me semble, qui dût blesser M. Muller : et d'ailleurs ceux qui se croiraient le plus intéressés à la gloire de Newton, ne pourraient pas être choqués le moins du monde de la manière dont je présente mes objections contre le sentiment de ce grand homme. J'ai l'honneur d'être parfaitement, Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur, Clairaut (Muller 60, pp. 391-396).
L'approbation de l'ouvrage est du 21 janvier 1760 (Muller 60, p. ix). Savérien : M. Muller, Professeur de Mathématiques à l'Ecole Royale de l'Artillerie de Wolvich m'ayant prier de veiller à l'édition de son Traité analytique des sections coniques, fluxions et fluentes etc. je trouvai dans cet ouvrage des remarques sur la Théorie de la Terre de M. Clairaut. Comme je connaissais sa sensibilité, je ne crus pas devoir laisser imprimer ces remarques sans lui en faire part. Il en fut très touché, et me fit l'honneur de m'écrire une lettre, où il répondit à M. Muller, en me priant de la faire imprimer à la fin de son livre Traité analytique des Sections coniques etc. Quoique M. Muller fut très maltraité dans cette lettre, je ne crus pas devoir refuser cette satisfaction à notre géomètre, et je me contentai d'y mettre une petite note pour me justifier envers M. Muller, laissant du reste le public juge de ce différend (Savérien 66, p. 499). Clairaut dans l'ouvrage de Muller : Je finis enfin cette première partie par la recherche de la figure de la Terre. Comme presque tous ceux qui l'ont traitée ne s'accordent point sur le rapport entre l'axe et l'équateur, nonobstant toutes les observations sur la longueur du pendule à secondes, dans différentes latitudes, et les mesures d'un degré de méridien, que les mathématiciens français ont faites dernièrement au Nord et sous l'équateur, il est assez surprenant que ces Messieurs, qui ont été employés dans ces mesures, différent tant dans la détermination de ce rapport. M. Clairaut [Voyez dans cet ouvrage les raisons sur lesquelles M. Muller se fonde en attaquant M. Clairaut, et la réponse de cet auteur, page 393 et suiv[antes]. Comme il prétend que M. Muller traite cavalièrement une matière qu'il lui reproche de ne point entendre, on ne sera point étonné qu'il ait trouvé long et ennuyeux son calcul dans une démonstration qui est pénible par la nature de la question. Quant à l'obscurité, il faut au moins avouer qu'il n'y en a pas dans la manière dont cet académicien s'exprime sur les arguments de son adversaire NDE] voulant suivre la méthode de MacLaurin et de Simpson, entre dans des calculs très longs et très pénibles, et cela afin de trouver le même rapport, sans avoir peut-être assez examiné si ses principes s'accordent avec les différentes mesures d'un degré de méridien, faites en France et ailleurs. Car s'il eût fait attention que toute hypothèse, quelque spécieuse qu'elle puisse être, ne saurait être vraie, si elle ne s'accorde pas avec l'expérience, il n'aurait pas pris tant de peine à éclaircir et à suivre un calcul aussi ennuyeux que celui des deux auteurs cités, MacLaurin et Simpson, qui établissent un rapport qui ne s'accorde pas avec leurs propres principes, puisque Simpson donne 231 à 230, pour ce rapport, au lieu de 232 à 231, qui est le rapport le plus proche de ses propres nombres : mais si l'on extrait la racine quarrée de son expression à trois décimales seulement, on trouvera ce rapport de 353 à 352, lequel est bien différent du sien, quoiqu'il soit déduit de son propre calcul ; ce qui fait voir que M. Clairaut n'avait aucune raison valable de suivre une méthode si incorrecte. II y a plus, c'est qu'après avoir donné une équation qui renferme ce rapport et la force centrifuge sous l'équateur, M. Clairaut suppose que la force centrifuge à l'équateur est la 289e partie de la force de la gravité, pour avoir le rapport entre l'axe et l'équateur ; et comme ce rapport ne s'accorde pas avec celui trouvé par les auteurs anglais, il suppose leur rapport comme véritable, et cherche celui de la force centrifuge à la gravité sous l'équateur, par un grand détour de calcul et de raisonnement non seulement inutile, puisqu'il l'aurait pu trouver par la même équation, mais encore fort douteux. En effet, il suppose le degré de méridien sous l'équateur de 57 438 toises, ce qui est 500 toises plus que celui qu'on a trouvé par la mesure, à moins qu'il ne veuille que ses confrères se soient trompés d'autant ; ce qui est impossible, comme on le fait voir dans ce traité. […] Après avoir bien ennuyé le lecteur par ces longs calculs, on vient enfin au problème en question. Les auteurs anglais veulent que le rapport entre l'équateur et l'axe soit comme 231 à 230. M. Clairaut, qui a suivi leur méthode, trouve ou prétend trouver le même rapport. M. Bouguer s'imagine que ce rapport est comme 179 à 178 ; mais examinons un peu la manière dont il se sert pour le trouver […] M. Clairaut [Voyez la réponse de cet auteur à la fin de cet ouvrage NDE] écrit, page 153 de son livre sur la figure de la Terre [C. 29], que le chevalier Newton a trouvé le rapport entre l'équateur & l'axe de 230 à 229, sur la supposition que la section de la Terre est une ellipse, sans l'avoir démontré ; et à la page suivante, il dit : « J'ai cherché les moyens de connaître si en effet elle était légitime, et je suis parvenu à en prouver la vérité ». On croirait à l'entendre qu'il est très difficile de prouver que cette section est en effet une ellipse. Mais si l'on considère, comme l'a fait M. Newton, que les parties d'un fluide, étant attirées vers un point fixe avec des forces égales à des distances égales de ce point, ce fluide formera une sphère : supposez cette sphère tourner autour de son axe avec une certaine vitesse, comparable à celle produite par la force centripète, les rayons des cercles parallèles à l'équateur, s'allongeront proportionnellement à leur longueur : cela étant, voilà l'ellipse démontrée en tout son jour ; et si le chevalier Newton ne l'a pas démontrée lui-même, c'est qu'il l'a cru si simple et si palpable, que cela devait sauter aux yeux de tout le monde. Mais venons au principal, M. Clairaut suppose d'abord, page 191, que la force centrifuge sous l'équateur est la 289e partie de la gravité primitive, et de là il trouve la différence entre les axes de 10/2304, ce qui donne le rapport entre les axes de 2314 à 2304, ou de 463 à 461, en l'exprimant par trois figures ; et ce rapport ne s'accordant absolument point avec celui donné par Messieurs MacLaurin et Simpson, qu'il suit dans son calcul, il le suppose être comme 231 à 130, et cherche la force centrifuge, qu'il trouve n'être que la 287,5e partie de la gravité primitive. Mais n'est-ce pas supposer ce que l'on cherche, puisque l'équation qu'il donne page 192, exprime le rapport entre la différence des axes et de la force centrifuge, comme 5 à 4 à peu près ? Or s'il fait le rapport entre les axes de 231 à 230, il suppose en même temps le rapport entre la force centrifuge et la gravité sous l'équateur de 287,5 à l'unité : il était donc fort inutile de faire la recherche de la force centrifuge par de longs détours, comme il fait dans les deux pages suivantes. Pour faire voir que le rapport entre les axes déterminé par ce savant, et en même temps par les auteurs anglais mentionnés ci-dessus, n'est point du tout le véritable, il suffit de jeter les yeux sur la page 194 de son livre, où il trouve le degré du méridien sous l'équateur de 57 309 toises, ce qui surpasse ce même degré, mesuré par Messieurs Bouguer et Condamine, de 556 toises. S'il admet que ses confrères se soient si fort trompés dans leurs mesures, que doit-on croire des mesures du Nord, auxquelles il était lui-même employé ? Mais on fait voir dans cet ouvrage qu'ils ont été plus heureux dans leurs mesures que dans la recherche sur le rapport des axes. […] Exemple. […] En prenant le rapport de M. Clairaut, entre la gravité à Paris et sous l'équateur, on, aura [maths] (Muller 60, pp. Vii-viii, 318-320, 349).
Muller (John), Traité analytique des sections coniques, fluxions et fluentes, Paris, 1760 [Télécharger].
Rémond de Montmort (Pierre), Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 2e éd., Paris, 1713 [Télécharger].
Savérien (Alexandre-Julien), Histoire de l'esprit humain, dans les sciences exactes et dans les arts qui en dépendent, vol. 1, Paris, 1766 [13 mai 1713 (1)] [4 août 1745 (1)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « [c. 1759] (1) : Clairaut écrit à Savérien », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/ncoc1759cfpo1pf.html [Notice publiée le 6 septembre 2011].
M. Muller, Professeur de Mathématiques à l'Ecole Royale de l'Artillerie de Wolvich m'ayant prier de veiller à l'édition de son Traité analytique des sections coniques, fluxions et fluentes etc. je trouvai dans cet ouvrage des remarques sur la Théorie de la Terre de M. Clairaut. Comme je connaissais sa sensibilité, je ne crus pas devoir laisser imprimer ces remarques sans lui en faire part. Il en fut très touché, et me fit l'honneur de m'écrire une lettre, où il répondit à M. Muller, en me priant de la faire imprimer à la fin de son livre Traité analytique des Sections coniques etc. Quoique M. Muller fut très maltraité dans cette lettre, je ne crus pas devoir refuser cette satisfaction à notre géomètre, et je me contentai d'y mettre une petite note pour me justifier envers M. Muller, laissant du reste le public juge de ce différend (Savérien 66, p. 499). Clairaut dans l'ouvrage de Muller :
Je finis enfin cette première partie par la recherche de la figure de la Terre. Comme presque tous ceux qui l'ont traitée ne s'accordent point sur le rapport entre l'axe et l'équateur, nonobstant toutes les observations sur la longueur du pendule à secondes, dans différentes latitudes, et les mesures d'un degré de méridien, que les mathématiciens français ont faites dernièrement au Nord et sous l'équateur, il est assez surprenant que ces Messieurs, qui ont été employés dans ces mesures, différent tant dans la détermination de ce rapport. M. Clairaut [Voyez dans cet ouvrage les raisons sur lesquelles M. Muller se fonde en attaquant M. Clairaut, et la réponse de cet auteur, page 393 et suiv[antes]. Comme il prétend que M. Muller traite cavalièrement une matière qu'il lui reproche de ne point entendre, on ne sera point étonné qu'il ait trouvé long et ennuyeux son calcul dans une démonstration qui est pénible par la nature de la question. Quant à l'obscurité, il faut au moins avouer qu'il n'y en a pas dans la manière dont cet académicien s'exprime sur les arguments de son adversaire NDE] voulant suivre la méthode de MacLaurin et de Simpson, entre dans des calculs très longs et très pénibles, et cela afin de trouver le même rapport, sans avoir peut-être assez examiné si ses principes s'accordent avec les différentes mesures d'un degré de méridien, faites en France et ailleurs. Car s'il eût fait attention que toute hypothèse, quelque spécieuse qu'elle puisse être, ne saurait être vraie, si elle ne s'accorde pas avec l'expérience, il n'aurait pas pris tant de peine à éclaircir et à suivre un calcul aussi ennuyeux que celui des deux auteurs cités, MacLaurin et Simpson, qui établissent un rapport qui ne s'accorde pas avec leurs propres principes, puisque Simpson donne 231 à 230, pour ce rapport, au lieu de 232 à 231, qui est le rapport le plus proche de ses propres nombres : mais si l'on extrait la racine quarrée de son expression à trois décimales seulement, on trouvera ce rapport de 353 à 352, lequel est bien différent du sien, quoiqu'il soit déduit de son propre calcul ; ce qui fait voir que M. Clairaut n'avait aucune raison valable de suivre une méthode si incorrecte. II y a plus, c'est qu'après avoir donné une équation qui renferme ce rapport et la force centrifuge sous l'équateur, M. Clairaut suppose que la force centrifuge à l'équateur est la 289e partie de la force de la gravité, pour avoir le rapport entre l'axe et l'équateur ; et comme ce rapport ne s'accorde pas avec celui trouvé par les auteurs anglais, il suppose leur rapport comme véritable, et cherche celui de la force centrifuge à la gravité sous l'équateur, par un grand détour de calcul et de raisonnement non seulement inutile, puisqu'il l'aurait pu trouver par la même équation, mais encore fort douteux. En effet, il suppose le degré de méridien sous l'équateur de 57 438 toises, ce qui est 500 toises plus que celui qu'on a trouvé par la mesure, à moins qu'il ne veuille que ses confrères se soient trompés d'autant ; ce qui est impossible, comme on le fait voir dans ce traité.
[…]
Après avoir bien ennuyé le lecteur par ces longs calculs, on vient enfin au problème en question. Les auteurs anglais veulent que le rapport entre l'équateur et l'axe soit comme 231 à 230. M. Clairaut, qui a suivi leur méthode, trouve ou prétend trouver le même rapport. M. Bouguer s'imagine que ce rapport est comme 179 à 178 ; mais examinons un peu la manière dont il se sert pour le trouver […] M. Clairaut [Voyez la réponse de cet auteur à la fin de cet ouvrage NDE] écrit, page 153 de son livre sur la figure de la Terre [C. 29], que le chevalier Newton a trouvé le rapport entre l'équateur & l'axe de 230 à 229, sur la supposition que la section de la Terre est une ellipse, sans l'avoir démontré ; et à la page suivante, il dit : « J'ai cherché les moyens de connaître si en effet elle était légitime, et je suis parvenu à en prouver la vérité ». On croirait à l'entendre qu'il est très difficile de prouver que cette section est en effet une ellipse. Mais si l'on considère, comme l'a fait M. Newton, que les parties d'un fluide, étant attirées vers un point fixe avec des forces égales à des distances égales de ce point, ce fluide formera une sphère : supposez cette sphère tourner autour de son axe avec une certaine vitesse, comparable à celle produite par la force centripète, les rayons des cercles parallèles à l'équateur, s'allongeront proportionnellement à leur longueur : cela étant, voilà l'ellipse démontrée en tout son jour ; et si le chevalier Newton ne l'a pas démontrée lui-même, c'est qu'il l'a cru si simple et si palpable, que cela devait sauter aux yeux de tout le monde.
Mais venons au principal, M. Clairaut suppose d'abord, page 191, que la force centrifuge sous l'équateur est la 289e partie de la gravité primitive, et de là il trouve la différence entre les axes de 10/2304, ce qui donne le rapport entre les axes de 2314 à 2304, ou de 463 à 461, en l'exprimant par trois figures ; et ce rapport ne s'accordant absolument point avec celui donné par Messieurs MacLaurin et Simpson, qu'il suit dans son calcul, il le suppose être comme 231 à 130, et cherche la force centrifuge, qu'il trouve n'être que la 287,5e partie de la gravité primitive. Mais n'est-ce pas supposer ce que l'on cherche, puisque l'équation qu'il donne page 192, exprime le rapport entre la différence des axes et de la force centrifuge, comme 5 à 4 à peu près ? Or s'il fait le rapport entre les axes de 231 à 230, il suppose en même temps le rapport entre la force centrifuge et la gravité sous l'équateur de 287,5 à l'unité : il était donc fort inutile de faire la recherche de la force centrifuge par de longs détours, comme il fait dans les deux pages suivantes. Pour faire voir que le rapport entre les axes déterminé par ce savant, et en même temps par les auteurs anglais mentionnés ci-dessus, n'est point du tout le véritable, il suffit de jeter les yeux sur la page 194 de son livre, où il trouve le degré du méridien sous l'équateur de 57 309 toises, ce qui surpasse ce même degré, mesuré par Messieurs Bouguer et Condamine, de 556 toises. S'il admet que ses confrères se soient si fort trompés dans leurs mesures, que doit-on croire des mesures du Nord, auxquelles il était lui-même employé ? Mais on fait voir dans cet ouvrage qu'ils ont été plus heureux dans leurs mesures que dans la recherche sur le rapport des axes.
[…]
Exemple. […] En prenant le rapport de M. Clairaut, entre la gravité à Paris et sous l'équateur, on, aura [maths] (Muller 60, pp. Vii-viii, 318-320, 349).