Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction fx qui a des valeurs subsistantes, lorsque la variable x est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle, si la variable n'est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire, et se confond avec l'axe des abscisses dans tout le reste de son cours. Cette notion n'est point opposée aux principes généraux du calcul ; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernouilli, de Clairaut [C. 47], de La Grange [Lagrange] et d'Euler. Toutefois on avait regardé comme manifestement impossible d'exprimer en séries de sinus d'arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n'a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d'analyse est pleinement éclairci, et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies Nous avons insisté sur cette conséquence dès l'origine de nos recherches jusqu'à ce jour, parce qu'il ne s'agit point ici d'une question abstraite et isolée, mais d'une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles, et les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l'analyse emploie pour les exprimer (Fourier 22, pp. 586-587).
Abréviations
C. 47 : Clairaut (Alexis-Claude), « Mémoire sur l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant garde aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètes principales », HARS 1754 (1759), Mém., pp. 521-564 [Télécharger] [9 juillet 1757 (1)] [28 juin 1747 (1)] [Plus].
HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
Fourier (Jean-Baptiste-Joseph), Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 [Télécharger].
Courcelle (Olivier), « 1822 (1) : Introduction des séries de Fourier », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n1822po1pf.html [Notice publiée le 22 avril 2013, mise à jour le 23 avril 2013].
