Alexis Clairaut (1713-1765)

Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765)


9 juillet 1757 (1)
M[onsieu]r Clairaut a commencé [la lecture] d'un mémoire intitulé De l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, par les perturbations qu'y causent les actions de la Lune et des autres planetes (PV 1757, p. 463).

Gallica

Il s'agit de « Mémoire sur l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant garde aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètes principales », HARS 1754 (1759), Hist., pp. 120-127, Mém., pp. 521-564, alias C. 47 (Taton 76).

Clairaut y donne un exposé systématique de la théorie des perturbations, fait le lien avec les séries trigonométriques et introduit la transformée de Fourier discrète (Kahane 14).

Le mémoire n'a pas échappé à Lebesgue (Lebesgue 06, pp. 19, 23, 25).

Clairaut :
De la manière de convertir une fonction quelconque T de t en une série, telle que A + B cos t + C cos 2t + D cos 3t + etc.
[…]
C'est cet habile géomètre [Euler dans (Euler 49b), (cf. 11 septembre 1747 (1))] qui a trouvé le premier la réduction des séries de l'espèce dont nous avons besoin maintenant.
Parmi les différents moyens qu'il propose pour faire cette réduction, j'ai choisi celui qui dépend de la division des arcs de cercle et qu'il a exposé page 30. J'ai préféré cette méthode aux autres, parce qu'il m'a paru qu'avec de très légers changements, elle pouvait donner très exactement les nombres dont on a besoin, sans être fort pénible dans l'exécution.
Ces changements rendent la construction de M. Euler semblable à celle que M. d'Alembert a donnée pour le même objet en 1754 (page 66 de la seconde partie des ses Recherches [(Alembert 54-56, vol. 2, p. 66)]) et par cette raison, j'avais cru d'abord n'en devoir pas parler ici ; mais comme ce dernier auteur n'a pas pensé à ce qui rend la méthode praticable, et qu'il l'a même abandonnée comme n'étant que de pure curiosité, que d'ailleurs le chemin que j'ai suivi dans la même recherche m'a paru être celui que l'inventeur M.Euler a caché, j'ai cru qu'on me saurait gré d'avoir donné mes réflexions sur toute cette question, que j'ai considérée d'ailleurs d'une manière fort générale, et qui pourra être utile en plusieurs rencontres (C. 47, pp. 545-546).

Fourier se souviendra de Clairaut (cf. 1822 (1)).

La lecture de C. 47 se poursuit les 13, 23 juillet et 14 décembre (cf. 13 juillet 1757 (1), 23 juillet 1757 (1), 14 décembre 1757 (2)).

L'interruption de la lecture entre juillet et décembre est probablement motivée par les calculs sur la comète (cf. [fin juillet 1757])).

Le comité de librairie examine C. 47 le 30 juillet (cf. 30 juillet 1757 (8)).

Clairaut résume la teneur de C. 47 à Gael Morris (cf. 16 novembre 1757 (2)).

C. 47 est mentionné dans le Journal des sçavans, juillet 1760, pp. 445-447.

Clairaut fait implicitement référence à C. 47 dans C. 52a (cf. 28 juin 1747 (1)).

La Caille utilise C. 47 pour corriger ses tables du Soleil, ainsi qu'il le mentionne p. 19 de (La Caille 58) et qu'il l'explique dans (La Caille 57b) (cf. 20 décembre 1757 (2)), lesdites tables corrigées étant rapportées (cf. 14 juin 1758 (2)) et utilisées par Lalande dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)) et dans (Lalande 64a, vol. 1, annexe, pp. 1-22).

Bailly s'appuie sur C. 47 pour ses travaux sur les satellites de Jupiter (Bailly 63e) (cf. 11 décembre 1762 (1)) et (Bailly 66a) (cf. 1766 (3)).

Lalande mentionne C. 47 dans (Lalande 57c) (cf. 19 novembre 1757 (2)), (Lalande 58a) (cf. 7 juin 1758 (1)) se base dessus dans (Lalande 61i) (cf. 24 janvier 1761 (1)), l'utilise dans la Connoissance des temps (cf. 13 janvier 1759 (1)).

Le Monnier se souviendra de C. 47 (cf. 27 mars 1785 (1)).

Lalande dans son Astronomie :
On n'avait jamais employé dans l'astronomie d'autres éléments pour l'équation du temps, que les deux quantités dont nous venons de parler, parce qu'on ne connaissait pas d'autres sources de différences entre l'ascension droite vraie et la moyenne, que l'équation du centre et l'obliquité de l'écliptique ; mais depuis que M. Euler et M. Clairaut [C. 47] ont eu calculé les dérangements que causent dans le mouvement réel de la Terre, et par conséquent dans le mouvement apparent du Soleil, les attractions de la Lune, de Vénus et de Jupiter, auxquelles il faut ajouter l'inégalité de la précession des équinoxes ; ces petites équations ont dû produire une troisième partie dans l'équation du temps, car elles affectent l'ascension droite vraie du Soleil sans affecter l'ascension droite moyenne ; ainsi il en résulte une inégalité dans la différence de ces deux ascensions droites qui forme l'équation du temps (Lalande 64a, vol. 1, pp. 290-291).
[…]
Les tables VI, VII, VIII, IX, X et XII [du Soleil] ont été calculées d'après le mémoire de M. Clairaut sur les inégalités de la Terre : on trouvera le détail de cette théorie dans les Mémoires de l'Académie (année 1754) [C. 47], et j'en ai expliqué tous les principes dans le XXIIe Livre (2796 et suiv[ants] [(Lalande 64a, vol. 2, pp. 1[3]82)]) […] Ces corrections peuvent se déduire aisément de la valeur de [maths] V[oyez] M. Clairaut, Mém[oires] ac[adémiques] 1754 [C. 47] (Lalande 64a, vol. 1, annexe, pp. 16-17).
[…]
M. Euler a calculé les inégalités de Saturne dans une pièce qui a remporté le prix de l'Académie en 1748 [(Euler 49b)] ; M. Clairaut [C. 47] et M. d'Alembert [(Alembert 54-56)] ont donné des Recherches sur les inégalités de la Terre, et j'ai examiné moi-même celles de Mars et de Vénus (Mém[oires] Acad[émiques] 1758 [(Lalande 58a), cf. 7 juin 1758 (1)], 1760 [(Lalande 60d)] et 1761 [(Lalande 61i)]). […] La première [force] est donc [maths] et l'autre [...], celle-ci est la force qui agit perpendiculairement au rayon vecteur, et que j'appellerai [maths] avec M. Clairaut. […] et l'on aura enfin la force perturbatrice dirigée vers le centre du Soleil, que M. Clairaut appelle [maths]. […] Voilà les deux équations différentio-différentielles du problème. Par le moyen de ces deux équations générales, il s'agit de trouver le rayon vecteur de l'orbite troublée, et l'angle u de l'anomalie vraie, pour un temps quelconque ; je vais expliquer la méthode par laquelle M. Clairaut résout ces deux équations (Mém[oires] ac[adémiques] 1748 [C. 40], et Théorie de la Lune, 1764 [1765 !] [C. 392=C. 412]). Au lieu de dt, il emploie le moyen mouvement dx qui est proportionnel au temps, ce qui revient au même. […] C'est un des avantages de la solution de M. Clairaut, d'avoir ainsi, dans une même équation, par des termes séparés, l'expression d'un orbite elliptique, et celle d'une orbite troublée. […] et l'on aura [maths] pour l'équation cherchée. Elle diffère beaucoup de celle qu'a trouvée M. Clairaut qui est de 40', mais il ne faut regarder le résultat précédent que comme une partie de la variation entière, puisque j'ai négligé une très grands nombre de termes dans l'expression des forces, et dans la valeur de Ω. […] Lorsqu'on considère l'inclinaison, comme fait M. Clairaut, dans la théorie de la Lune, il faut réduire le lieu du Soleil au plan de l'orbite de la Lune par une perpendiculaire. […] Je rapporterai bientôt deux théorèmes qui serviront à entendre la théorie de M. Clairaut dans cette partie (2933 et 2934). […] Voy[ez] M. Clairaut, Mém[oires] acad[émiques], 1754 [C. 47], pag[e] 544). […] et M. Clairaut en a donné une un troisième [méthode] à l'occasion des inégalités de la Terre (Mém[oires] acad[émiques] 1754 [C. 47], p. 545). […] Il faut donc multiplier [maths] et l'on aura la valeur entière de [maths], à peu près comme M. Clairaut l'a trouvé (Mém[oires] acad[émiques], 1754 [C. 47], pag[e] 554). […] Voyez l'art[icle] 2494 où j'ai parlé de l'ouvrage de M. Clairaut [C. 51], et de mes calculs sur cette matière, à l'occasion de la comète de 1759. […] On peut voir dans la théorie de la Lune de M. Clairaut qu'en négligeant moins de choses, on trouve ce mouvement bien mieux en accord avec l'observation (Lalande 64a, vol. 2, p. 1355-1405).

Dans sa dernière édition :
On n'avait jamais employé dans l'astronomie d'autres éléments pour l'équation du temps, que les deux quantités dont nous venons de parler, parce qu'on ne connaissait pas d'autres sources de différences entre l'ascension droite vraie et la moyenne, que l'équation de l'orbite et l'obliquité de l'écliptique ; mais depuis que Euler et Clairaut [C. 47] ont eu calculé les dérangements que causent dans le mouvement réel de la Terre, et par conséquent dans le mouvement apparent du Soleil, les attractions de la Lune, de Vénus et de Jupiter (3656), et que Bradley a eu découvert l'équation de la précession en ascension droite, qui fait la seconde partie de cette nutation (2907), ces petites équations ont dû produire une troisième partie dans l'équation du temps, car elles affectent l'ascension droite vraie du Soleil et la font différer davantage de l'ascension droite moyenne ; ainsi il en résulte une inégalité dans la différence de ces deux ascensions droites qui forme l'équation du temps (Lalande 92, vol. 1, p. 339).
[…]
Nous commencerons pas réduire en équations le problème des trois corps à la manière de Clairaut. Soit P une planète (Lalande 92, vol. 3, p. 441).
[…]
Je vais expliquer la méthode par laquelle Clairaut a résolu ces deux équations (Mém[oires] ac[adémiques] 1748 [C. 40], et Théorie de la Lune, 1765 [C. 392=C. 412]). Au lieu de dt, il emploie le moyen mouvement dx qui est proportionnel au temps, ce qui revient au même (Lalande 92, vol. 3, p. 444).
[…]
C'est l'équation qu'il s'agit d'intégrer, mise sous la forme la plus simple, à laquelle se réduit principalement la question du problème des trois corps, dans tous les auteurs qui l'ont appliquée à la théorie de la Lune (Clairaut, pag[e] 5, d'Alembert, pag[e] 16, Euler, pag[e] 21 ; Simpson, pag[e] 146. […] Nous allons intégrer cette équation en supposant [maths], ce qui sera peut-être moins élégant, mais plus facile à entendre que l'intégration générale de Clairaut. (Lalande 92, vol. 3, p. 447).
[...]
C'est un des avantages de la solution de M. Clairaut, d'avoir ainsi, dans une même équation, par des termes séparés, l'expression d'un orbite elliptique, et celle d'une orbite troublée. […] Lorsqu'on considère l'inclinaison, comme Clairaut, dans sa théorie de la Lune, il faut réduire le lieu du Soleil au plan de l'orbite de la Lune par une perpendiculaire (Lalande 92, vol. 3, pp. 448-453).
[…]
C'est ce que trouvent Clairaut (Mém[oires] 1754 [C. 47]) et M. de la Grange [Lagrange] (Mém[oires] de Berlin, 1784 [(Lagrange 84]) (Lalande 92, vol. 3, p. 465).
[…]
Les inégalités produites dans le mouvement de la Terre par Vénus et par la Lune se calculeraient de la même manière [Clairaut a donné lé calcul de toutes ces inégalités de la Terre [C. 47] mais il faisait les masses de Vénus et de la Lune trop fortes : d'Alembert en traita dans ses Recherches [(Alembert 54-56)], t[ome] Il et III, ainsi qu'Euler, dans les Mémoires de Pétersbourg pour 1771 et 1778 ; mais celui-ci se trompa, comme on l'a remarqué dans les volumes de 1779 et 1780. Il n'y avait pas d'erreur dans le mémoire de Clairaut pour la Lune, comme je l'ai fait voir (Mémoires de 1786) ; mais M. de la Place trouve qu'il y en avait pour les petites équations qu'il donnait, et qui ne doivent point avoir lieu. M. de la Grange a aussi donné le calcul d'une partie de ces inégalités dans les Mémoires de Berlin pour 1784 NDA] (Lalande 92, vol. 3, p. 465).
[…]
Euler, qui aperçut cette difficulté [défaut de convergence d'une série], dans sa pièce sur la théorie de Saturne [(Euler 49b)], s'occupa à la résoudre, mais il ne démontra point la méthode qu'il indiquait. D'Alembert, dans la seconde partie de ses Recherches ['Alembert 54-56)], donna une autre méthode, et Clairaut en a donné une troisième à l'occasion des inégalités de la Terre (Mém[oires] acad[émiques] 1754 [C. 47]). Je l'ai expliquée, avec un assez grand détail, dans des mémoires sur les inégalités de Vénus et de Mars (Mém[oires] 1760 [(Lalande 60d)], 1761 [(Lalande 61i)]) (Lalande 92, vol. 3, p. 468).
[…]
Il faut donc multiplier 8, 702 par ce nombre là, et l'on aura la valeur entière de [maths], à peu près comme Clairaut l'a trouvée (Mém[oires] acad[émiques], 1754 [C. 47], pag[e] 554) (Lalande 92, vol. 3, p. 471).

Lalande en 1780 :
Cette diminution dans la masse de Vénus exigera encore une diminution dans l'équation du Soleil, produite par l'action de Vénus, soit pour la longitude, soit pour la distance, ainsi, dans les Mémoires de l'Académie, pour 1754 [C. 47], page 556, M. Clairaut, calculant les équation du Soleil, trouvait pour les principaux termes [maths], en supposant Vénus et la Terre [maths], mais les observations du passage de Vénus en 1769, nous ayant fait diminuer la parallaxe du Soleil, la Terre se trouve [maths]. Mais puisque, par les observations de l'obliquité de l'écliptique, Vénus n'est que la moitié de la Terre, ces équations devraient encore être diminuées de moitié. […] Il est constaté actuellement qu'il s'était glissé une erreur dans les calculs qui avaient servi de fondement à cette nouvelle table de M. Euler : ainsi le doute n'est plus que de 7 à 8 secondes, dont l'équation est peut-être trop grande dans mes tables, pour certains cas, mais la forme et les signes de l'équation sont certainement tels que Clairaut, La Caille, Mayer et moi les avons employées (Lalande 80).

Lalande, en 1786 :
Les inégalités du mouvement apparent du Soleil sont un objet important pour l'astronomie, puisque les tables du Soleil nous servent continuellement pour calculer nos observations. M. de La Caille nous a laissé des tables excellentes, dont tous les points furent approfondis et discutés avec un soin extrême ; il y fit entrer les perturbations calculées en 1757, par MM. Euler et Clairaut, pour les attraction de Jupiter, de Vénus et de la Lune, mais les deux dernières avaient été calculées avec des masses qui paraissaient défectueuses, et je vais tacher d'y suppléer. […] M. Clairaut trouvait pour les équations du Soleil, les quantités suivantes [Mém[oires] 1754 [C. 47], page 556] […] C'était en comparant ces observations avec le calcul des tables, que La Caille trouva qu'il fallait diminuer d'un quart les équations données par Clairaut, mai son sent qu'il était difficile de déterminer des quantités de 18'' par des observations qui comportent des erreurs de la même quantité ; cette somme de 18'' fut réduite à 15'' dans ses tables. […] La masse 0, 92 […] donne 9'' 7 pour l'équation, d'après les calculs de M. Fuss et Lexell, qui sont d'accord à cet égard, au lieu de 8'' 5 que donneraient les formules de Clairaut. […] En employant 10'' 6 d'équation, la correction du logarithme de la distance qui allait jusqu'à 14, se réduirait à 10 parties, suivant la table de La Caille et la théorie de Clairaut. […] M. Lexell, d'après les difficultés que j'avais proposées, a encore plus approfondi cette matière que Clairaut en l'avait fait, et les calculs de M. Fuss approchent beaucoup de ceux de M. Lexell, car M. Fuss trouve [maths], en sorte qu'il a trouvé par une travail suivi, et une méthode différente, que la théorie de Clairaut était exacte ; enfin M. de la Grange [Lagrange] a eu le même résultat [(Lagrange 84)]. […] [La formule pour former la nouvelle table] se déduit facilement de l'expression que Clairaut donne, page 555, [maths] […] Clairaut trouvait pour les équations produites pour la Lune, les quantités suivantes (Mém[oires] 1754 [C. 47], page 536) [maths] […] Cela diffère peu de la fraction employée par Clairaut [...] En employant la formule de M. d'Alembert (Recherches sur divers points etc [(Alembert 54-56), partie II, page 8 ; Mém[oires] 1757, page 137) […], ce qui donne […] ; mais la formule de Clairaut est plus exacte. […] Mais j'observe que la correction de la distance dans le Mémoire de Clairaut ne donne pas le même rapport pour les trois termes (Mém[oires] acad[émiques] 1754 [C. 47], page 535) [maths]. Au reste, M. de la Place [Laplace] prouve que les deux petites équations ne doivent point avoir lieu, et qu'elle sont le résultat dune omission faite par Clairaut dans sa théorie ; ainsi je ne les emploierait point. […] Pour l'action de Jupiter, M. de la Place [Laplace] a trouvé [maths] ; il rejette les deux équations que Clairaut faisait dépendre de l'anomalie du Soleil (Lalande 86).

Bailly :
M. Clairaut traita aussi cette question [perturbation de l'orbite de la Terre par Jupiter, Vénus et la Lune] dans un très beau mémoire [C. 47] ; il donna toutes les inégalités que ces trois planètes causent au mouvement de notre globe. M. de La Caille se hâta d'enrichir ses tables du Soleil par ce nouveau moyen de perfection. Le calcul [(La Caille 57) NDA] devint encore plus conforme aux observations, et grâce à la géométrie, les résultats de la science humaine approchèrent de plus près ceux de la nature. Monsieur de la Lande [Lalande] appliqua cette théorie de M. Clairaut au mouvement de Mars, troublé d'un côté par Jupiter, et de l'autre par la Terre. Ces inégalités peuvent monter à deux minutes [(Lalande 58a), (Lalande 61i) NDA] (Bailly 85, p. 170).

Montucla :
La méthode de Flamsteed, pour déterminer rigoureusement le lieu du Soleil et des étoiles, fut un des premiers moyens de perfection pour les tables solaires ; le grand nombre des observations de La Caille vers 1750 ; le calcul des attractions des planètes sur la Terre, par Clairaut : enfin, les observations de M. Maskelyne, depuis 1765, ont amené successivement de nouveaux degrés d'exactitude, et nous n'avons pas actuellement plus de sept à huit secondes d'incertitude sur le lieu du Soleil, dans les tables du cit[oyen] Delambre. […] Nous n'avons envisagé jusqu'à présent la chose [perturbation de l'orbite terrestre par la Lune] que sous l'aspect le plus simple ; mais si l'on y voulait faire entrer tous les éléments, comme l'excentricité de l'orbite terrestre, les distances variables du Soleil à la Terre et de la Terre à la Lune, on trouverait pour cette équation une expression beaucoup plus composée, telle que celle que donna Clairaut dans les Mémoires de l'Acad[émie] pour 1754. Elle y est déduite de sa solution générale du problème des trois corps. Il nous suffira de dire ici que combinant diverses observations de La Caille faites au cap de Bonne-Espérance et dans l'île Bourbon, il fixe par un résultat moyen l'équation dont il s'agit à 8" 7. […] Nous avons parlé de deux autres équations du mouvement de la Terre, l'une dépendante de l'action de Vénus, l'autre de celle de Jupiter. Clairaut s'occupa à les démêler dans le volume de 1756 [1754 !], d'après sa solution du problème des trois corps, et une application de ses formules pour la construction des tables de ces équations, et elles ont été employées par La Caille dans ses tables solaires, où il les a même simplifiées (Montucla 99-02, vol. 4, p. 41-44).

Lagrange écrit à Laplace à propos de C. 47 (cf. 15 septembre 1782 (1)).

Laplace mentionne C. 47 dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)).

Bossut :
Clairaut lut à l'Académie, en 1757, un mémoire sur l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant égard aux perturbations produites par la Lune et par les planètes principales [C. 47]. Ce mémoire, imprimé par anticipation dans le volume de l'Académie pour 1754, est une nouvelle application de la méthode que l'auteur avait employée dans la théorie de la Lune : il est très clair et très méthodique. Outre qu'il complète en quelque sorte la pièce d'Euler, en ce qui concerne l'action de la Lune, Clairaut y démontre d'une manière très simple et très élégante, deux séries qu'Euler avait énoncées dans sa première pièce sur les mouvements de Saturne et de Jupiter, et dont il s'était réservé le secret (Bossut 10, pp. 404-405).
Abréviations
  • C. 392 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
  • C. 40 : Clairaut (Alexis-Claude), « De l'orbite de la Lune, en ne négligeant pas les quarrés des quantités de même ordre que les forces perturbatrices », HARS 1748 (1752), Mém., pp. 421-440 [Télécharger] [20 décembre 1748 (1)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [13 juin 1744 (1)] [Plus].
  • C. 412 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
  • C. 47 : Clairaut (Alexis-Claude), « Mémoire sur l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant garde aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètes principales », HARS 1754 (1759), Mém., pp. 521-564 [Télécharger] [28 juin 1747 (1)] [Plus].
  • C. 51 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie du mouvement des comètes, dans lesquelles on a égard aux altérations que leurs orbites éprouvent par l'action des planètes. Avec l'application de cette théorie à la comète qui a été observée dans les années 1534, 1607, 1682 et 1759, Paris, Michel Lambert, s. d. [1760] [Télécharger] [8 août 1759 (1)] [(1 juillet) 20 juin [1731]] [6 avril 1743 (1)] [Plus].
  • C. 52a : Clairaut (Alexis-Claude), « Mémoire sur les mouvemens des corps célestes, adressé à MM. les Auteurs du Journal des sçavans », Journal des sçavans, décembre 1760, vol. 1, pp. 751-775 [Télécharger] [Décembre 1760 (1)] [7 janvier 1747 (2)] [15 mars 1747 (1)] [Plus].
  • CDT : Connoissance des temps pour l'année... puis Connoissance des mouvemens célestes pour l'année...
  • HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
  • Hist. : Partie Histoire de HARS 17..
  • Mém. : Partie Mémoires de HARS 17..
  • NDA : Note de l'auteur.
  • PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Courcelle (Olivier), « 9 juillet 1757 (1) », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n9juillet1757po1pf.html [Notice publiée le 12 mars 2011, mise à jour le 30 octobre 2013].