Il s'agit de « Recherches générales sur le calcul intégral », HARS 1739 (1741), Mém., pp. 425-436, alias C. 25, dont un manuscrit, celui adressé par Daniel Bernoulli à Euler le 2 janvier 1740 (cf. 2 janvier 1740 (1)), est conservé aux archives de l'Académie des sciences à Saint-Pétersbourg (Taton 76).

Un note de C. 25 précise que :
Ce mémoire n'aurait dû paraître qu'après un autre de M. Fontaine, qui avait pour titre le Calcul intégral ; mais M. Fontaine n'ayant pas encore remis le sien, l'Académie a jugé à propos de publier celui-ci le premier (C. 25).

Début de C. 25 :
Je me propose de donner dans ce mémoire, une méthode pour intégrer les équations différentielles, aussi générale que celle de M. Fontaine, mais beaucoup plus simple dans la théorie, et plus commode dans la pratique. Deux choses m'ont engager à chercher cette méthode. La première, la longueur et la difficulté des calculs de M. Fontaine. La seconde, cette considération singulière absolument essentielle à son mémoire, qui l'oblige à chercher les termes que l'on aurait eus dans l'équation différentielle, si l'on avait traité le paramètre comme variable. Quoique cette recherche lui donne lieu d'appliquer un beau théorème et plusieurs adresses de calcul, je ne pus cependant, en l'examinant, m'empêcher de faire cette réflexion, que puisque le calcul intégral n'était que l'inverse du calcul différentiel, et que dans celui-ci on traite une ou plusieurs lignes comme constantes, il devait en être de même de celui-là. Je me résolus donc d'abandonner le théorème de M. Fontaine, et de prendre la chose par une voie toute différente (C. 25).

Plus loin :
Si Adx+Bdy représente la différentielle d'une fonction composée de x, de y et de constantes, je dis que la différence de A, en supposant seulement y variable, et ôtant les dy, est égale à la différence de B, x seulement étant variable, et ôtant les dx, ce que j'exprime ainsi dA/dy=dB/dx (C. 25)

Clairaut avait été rapporteur d'un mémoire sur le calcul intégral que Fontaine avait présenté fin novembre 1738 (cf. 4 février 1739 (2)).

Fontaine a ensuite lu un nouvel « écrit sur le calcul intégral » les 7, 11 et 14 février 1739 (PV 1739, ff. 23v, 25r, 26r) dont le secrétaire demandera copie le 18 février (cf. 18 février 1739 (1)).

À la suite de cette lecture de Clairaut, Fontaine lira le 7 mars un nouvel « écrit sur le calcul intégral » (PV 1739, f. 48).

En raison de la dispute avec Fontaine et à l'occasion de l'impression du mémoire, Clairaut relira la préface de C. 25 le 1 juillet 1741 (cf. 1 juillet 1741 (1)).

Le volume académique de 1739 ne contient aucune contribution de Fontaine, qui complètera ses travaux sur le calcul intégral en 1741 (cf. 13 juin 1741 (1)) et les publiera tardivement en 1764 (Fontaine des Bertins 64, pp. 24-83), sans rendre justice à Clairaut (Greenberg 95, pp. 396-399).

De son côté, Clairaut reprendra ses travaux en la matière et les étendra dans C. 28 (cf. 31 mai 1741 (1)).

La condition d'intégrabilité, qui marque au fond que les dérivées partielles croisées du second ordre ne dépendent pas de l'ordre des dérivations, est appelée Théorème de Clairaut (Kahane 14).

Elle fut également publiée par Euler dans (Euler 34a, Euler 34b) (O IVA, 5, p. 70).

Clairaut enverra un manuscrit de C. 25 à Daniel Bernoulli, qui évoquera ces travaux à Jallabert (cf. 5 août 1739 (2)) et surtout à Euler (29 août 1739 (1)). Ce dernier lui demandant une copie du mémoire (cf. (26) 15 septembre 1739), Daniel Bernoulli promet de lui envoyer (14 novembre 1739 (1)). Dans l'intervalle, Euler envoie des exemples d'intégrales (cf. (29) 18 décembre 1739), que Daniel Bernoulli transmet à Clairaut, ainsi qu'il le signale à Euler en lui envoyant une copie de C. 25 (cf. 2 janvier 1740 (1)). Euler présentera C. 25 à l'Académie de Saint-Pétersbourg (cf. (3 juin) 23 mai 1740), ce qui déclenchera la curiosité d'Heinsius (cf. (10 juin) 30 mai 1740).

De son côté, Clairaut a des difficultés avec les intégrales envoyées par Euler (cf. 12 mars 1740 (2)). Ayant appris de Daniel Bernoulli qu'il s'est rencontré avec Euler, Clairaut saisit l'occasion pour entrer directement en correspondance avec lui (cf. 17 septembre 1740 (1)) et le créditer, ainsi que Fontaine, dans une note de C. 28 (cf. 31 mai 1741 (1)).

Clairaut retournera à des questions liées à C. 25 et C. 28 dans sa lettre à Euler du 20 mars 1745 (cf. 20 mars 1745 (1)).

C. 25 est mentionné par Wattz dans sa correspondance avec Euler (cf. 19 janvier 1745 (2)).

Clairaut fera lire C. 25 à Bougainville (cf. Bougainville).

C. 25 est mentionné dans le Journal des sçavans, décembre 1743, p. 726 ; avril 1744, p. 196.

C. 25 est étudié par John Greenberg dans (Greenberg 95, pp. 347-367).

Utilisation par d'Alembert :
Rappelons qu'une (forme) différentielle adx+bdt est dite exacte ou complète s'il existe une fonction u(x,t) telle que du=adx+bdt, c'est-à-dire telle que a=du/dx et b=du/dt. […] Depuis les année 1730, grâce aux recherches d'Euler [(Euler 34a, Euler 34b)] et de Clairaut [C. 25, C. 28] [et Fontaine], un critère permettant de caractériser de telles formes différentielles existe. On peut l'énoncer comme suit : da/dt=db/dx, si et seulement si adx+bdt est une différentielle complète. […] Mais ce critère n'est pas énoncé explicitement sous forme de condition nécessaire et suffisante et les conditions permettant les démonstrations rigoureuses ne sont pas précisées. D'Alembert utilise [...] ce critère dans [(Alembert 47a), (Alembert 47c), (Alembert 47d), (Alembert 52) et (Alembert 61-80, vol. 1, Mémoire 1 et Mémoire 4) (AIII/1, pp. 16, 405).

Savérien :
Calcul intégral. […] Grâce à l'illustre M. Clairaut, on ne va plus à tâtons pour résoudre ce problème. Un théorème [C. 25] en fait l'affaire. Ce que ce géomètre y établit est : qu'une quantité composée de constantes et de variables étant différentiée, la quantité de la constante, en ne supposant qu'une variable, d'où l'on ôte l'élément, est égale à la différentielle d'une autre constante prise, en ne supposant seulement qu'une variable, et ayant ôté comme auparavant l'élément de celle-ci.
De sorte que si Adx+Bdy représente la différentielle d'une quantité quelconque, on aura dA/dy=dB/dx.
Il est aisé de former de là une règle pour découvrir si une différentielle est intégrable. Elle ne l'est que lorsque après avoir fait varier seulement une variable du premier membre, et en ayant ôté l'élément, c'est-à-dire le dx pour ce membre, on trouve qu'elle est égale à la différentielle de l'autre membre, en retranchant l'élément qu'il renferme, qui est ici dy. Il est bon et même nécessaire d'avertir ici que la règle précédente n'a pour objet que les équations différentielles à deux variables. Pour celles qui sont à trois, on a recours à une autre méthode [C. 28], toujours fondée sur le théorème précédent. On commence, selon M. Clairaut, à s'assurer si l'équation dans l'état où elle est, ne serait point la différentielle exacte de quelque autre équation à trois variables, en faisant usage du théorème. Et au cas que les trois équations qui résultent de ces trois variables ne se trouvent pas vraies à la fois, la quantité qui en est formée, ne serait pas une différentielle exacte.
Le même géomètre dont nous analysons les principes (M. Clairaut) enseigne encore dans le même écrit, par le moyen d'un nouveau théorème, comment on trouve un facteur qui rend une équation intégrable, en multipliant tous ces termes (Mémoires de l'Académie, 1740). Au reste, je ne dois pas taire que MM. Euler et Fontaine ont fait la même découverte que M. Clairaut, et dans le même temps. C'est une justice que M. Clairaut lui-même leur a rendue (Savérien 53, vol. 1, pp. 114-115).

Bossut :
Les géomètres désiraient donc un signe, un caractère par lequel on pût reconnaître si une équation, dans l'état où elle se présente, est immédiatement intégrable, ou si elle a besoin de quelque préparation pour le devenir. On sent en effet combien une telle connaissance doit épargner de fausses tentatives de calcul. L'Allemagne et la France partagent la gloire d'avoir fait cette belle découverte pour les équations différentielles du premier ordre. Euler, Fontaine et Clairaut y parvinrent chacun de leur côté, à peu près dans le même temps, ou du moins sans s'être donné mutuellement secours. Cependant la justice ne permet pas de taire qu'Euler a porté les premiers coups : dans sa Mécanique [(Euler 36a)] [vol. 2, p. 49 NDA] publiée en 1736, il emploie une équation dépendante de cette théorie, mais il n'en a donné la démonstration que dans les mémoires de l'Académie de Pétersbourg, pour l'année 1734, publiés en 1740 [(Euler 34a), (Euler 34b)]. Or les recherches de Fontaine et de Clairaut sont de l'année 1739 [Ac[adémie] de Paris 1739 et 1740 NDA] [C. 25 et C. 28], de sorte qu'ils ne pouvaient pas alors connaître celles d'Euler (Bossut 10, pp. 120-121).