Alexis Clairaut (1713-1765)

Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765)


1768 (4) : Parution des vol. 4 et 5 des Opuscules de d'Alembert :
Dans l' « Avertissement » du vol. 4 :
Enfin le dernier mémoire a pour objet des réflexions importantes sur le problème des trois corps, principalement sur la théorie de la Lune, et sur les degrés de perfection qui manquent à cette théorie. J'ai tâché d'y indiquer ce qui reste encore à faire sur ce sujet, de proposer différentes vues pour y parvenir, et de faire apercevoir les méprises où il me semble que d'habiles géomètres sont tombés en résolvant ce problème. Ces différents objets, que je ne fais ici qu'effleurer, seront traités plus à fond dans le cinquième volume, qui suivra de près celui-ci (Alembert 61-80, vol. 4, pp. v-xii).

Dans le « Vingt-neuv[iè]me mémoire. Réflexions sur la théorie de la Lune, et en général sur le problème des trois corps » :
Une fausse méthode d'intégration a fait croire à de savants géomètres que ces termes devenaient très grands par l'intégration, quoiqu'ils demeurent réellement toujours fort petits, malgré l'augmentation considérable que l'intégration leur donne. […] Parmi les termes [...] que l'intégration augmente beaucoup dans l'expression du temps, on doit surtout faire une grande attention à celui qui a pour argument la distance de l'apogée de la Lune au nœud. Ce terme paraît très difficile à calculer exactement à cause de la petitesse du dénominateur que l'intégration lui donne ; les différentes théories de la Lune, connues jusqu'ici, ne s'accordent nullement fur fa valeur. […] Un autre inconvénient des méthodes d'approximation dont on a fait usage jusqu'ici dans la théorie de la Lune, c'est que plusieurs équations qu'on croirait d'abord avoir déterminées assez. exactement par un calcul, où on se flatte de n'avoir négligé que des coefficients fort petits, deviennent, en poussant l'approximation plus loin, beaucoup plus grandes ou plus petites qu'on ne les avoir d'abord trouvées. Les théories connues de la Lune en fournissent plusieurs exemples [...] (Alembert 61-80, vol. 4, pp. 367-380).

Dans l' « Avertissement » du vol. 5 :
Dans le premier mémoire de ce volume, je confirme par de nouvelles preuves ce que j'avais déjà démontré ailleurs, qu'il n'est pas vrai, comme l'ont cru de savants géomètres, que dans un fluide hétérogène et en équilibre, les couches de différente densité doivent toujours être de niveau ; mais je fais voir en même temps, d'après une observation dont je suis redevable au célèbre M. de la Grange, les restrictions qu'on doit apporter à ce que j'avais avancé moi-même à ce sujet. Je prouve encore que la loi de l'équilibre des fluides, donnée et adoptée jusqu'ici pour générale, ne l'est pas à plusieurs égards, et qu'elle a besoin d'être modifiée ; remarque qui me donne occasion d'en faire quelques autres, propres à jeter un nouveau jour sur les principes de l'hydrostatique. Ces réflexions sont terminées par de nouvelles recherches sur la figure de la Terre, dans lesquelles je démontre, entre autres choses, qu'un fluide homogène ne peut être en équilibre, s'il n'est de figure sphérique ou elliptique.
[…]
Les quatre mémoires suivants renferment des réflexions importantes sur la solution du problème des trois corps. Je détermine la forme la plus simple qu'on puisse donner à l'équation différentielle de l'orbite lunaire ; je cherche la manière la plus commode et la plus courte de l'intégrer ; je démontre à cette occasion, si je ne me trompe, que M. Clairaut, dans sa Théorie de la Lune [C. 392=C. 412], n'a pas fait assez d'attention à la double courbure de l'orbite de cette planète ; méprise qui aurait occasionné de grandes erreurs dans son résultat, si elle n'avait été compensée par une autre méprise opposée, qui détruit à peu près l'effet de la première. Cette controverse est la suite de celle qui avait commencé entre nous, du vivant de ce célèbre mathématicien, au sujet de sa théorie de la Lune et de la mienne. J'aurais bien désiré pouvoir soumettre ces nouvelles réflexions au jugement de celui qui en est l'objet, et dont je regarde la mort comme une perte pour la géométrie ; mais j'ai cru que cette triste circonstance ne devait pas m'engager à supprimer mes remarques ; d'abord, parce qu'elles me paraissent encore plus importantes que d'autres difficultés que j'avais proposées à feu M. Clairaut sur sa théorie, et qu'il a, ce me semble, essayé vainement de résoudre [Voy[ez] les Journaux encyclopédiques de fév[rier] [cf. 18 janvier 1762 (1)] et d'août 1762 [cf. 5 juillet 1762 (1)] NDA] ; en second lieu parce que cette même théorie a été plusieurs fois mise en œuvre par de jeunes mathématiciens, qui peut-être ne l'ont pas suffisamment étudiée ; enfin, parce qu'au défaut de l'auteur même, il n'est aucun géomètre, versé dans la matière, qui ne puisse me relever à ce sujet, si je me fuis trompé (Alembert 61-80, vol. 5, pp. v-xiv).

Dans le « Trentième mémoire. Sur l'équilibre des fluides » :
1. J'ai démontré le premier dans mes Recherches sur la cause des vents [(Alembert 47a)], art[icle] 86, et ensuite dans mon Essai sur la résistance des fluides [(Alembert 52)] (art[icle] 167), qu'un fluide hétérogène pouvait être en équilibre, sans que ses différentes couches (où l'on suppose que la densité soit la même) fussent de niveau. Un très habile géomètre avait pensé le contraire ; mais la preuve qu'il en a donnée, ne peut tout au plus être bonne que dans le cas où les couches immédiatement contiguës diffèrent sensiblement de densité, et où les forces qui les animent ne diffèrent outre cela qu'infiniment peu, soit dans leur quantité, soit dans leur direction [Voyez la Théorie de la figure de la Terre [C. 29], par M. Clairaut, pag[es] 129 et 130 NDA]. M. de la Grange, dans le second volume des Mémoires de Turin, a confirmé, par une savante théorie qui lui est propre, ce que j'avais avancé contre la nécessité du niveau des couches. Mais ce grand Mathématicien remarque avec raison que j'ai étendu trop loin mon principe, quand j'ai prétendu que dans un fluide, dont les parties s'attirent mutuellement, il n'était pas nécessaire que les couches de même densité fussent de niveau.
[…]
20. De là on voit encore [maths], ce qui peut passer pour une espèce de paradoxe. M. Clairaut, dans sa Théorie de la. figure de la Terre [C. 29], pag[es] 88 et suivantes, examinant un cas semblable en quelque chose à celui-ci, paraît conclure de l'équilibre du canal quelconque [maths], par la raison, dit-il, que la force du canal circulaire [maths]. J'avoue que je ne puis admettre cette assertion, car quoique M. Clairaut ajoute, pour la confirmer, que la force de la goutte qui est en C est infinie, étant en raison inverse du rayon, il me semble que dès qu'on est parvenu au centre C, il n'y a plus absolument aucune force ; d'ailleurs [maths].
21. [...]Il est aisé de voir que la somme sera une différentielle complète, et qu'ainsi suivant le principe de M. Clairaut (p. 37 de l'ouvrage cité [C. 29]), il devrait y avoir équilibre. Cependant il est évident , par l'art[icle] 19, que l'équilibre n'a pas lieu ; donc M. Clairaut a énoncé la règle de l'équilibre trop généralement, quand il a dit que [maths].
22. Mais, dira-t-on, comment se peut-il que cette règle soit trop générale dans son énoncé ? [maths].
23. Je réponds que [maths].
[….]
26. Dé-là on doit conclure encore que l'équation [maths] donnée par M. Clairaut (pag[e] 82 de l'ouvrage cité [C. 29], pour l'équilibre des sphéroïdes, y représentant les rayons qui partent d'un point fixe, et x les angles compris entre ces rayons) doit être telle que [maths] ; ce qui, en effet, est d'ailleurs évident, puisque [maths].
[…]
30. Les équations [maths] que M.Clairaut a supposées, pag[e] 85 de son ouvrage [C. 29], satisfont bien à la première et à la seconde des trois conditions de l'art[icle] 28, mais non pas à la troisième ; il fallait prendre [maths] (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 1-40).

Dans le « XXXVIIIe mémoire. De la forme la plus avantageuse que l'on peut donner à l'équation différentielle de l'orbite lunaire » :
1. Je crois d'abord que l'orbite dans laquelle il faut calculer les mouvements de la Lune, n'est pas son orbite réelle, mais son orbite projetée sur le plan de l'écliptique. J'ignore pourquoi de savants géometres [Voyez la théorie de la lune de M. Clairaut, Paris, 1765 [C. 392=C. 412], page 37], qui se sont très occupés de cette théorie, en ont usé autrement ; je comprends encore moins pourquoi ces géomètres dans les calculs de la latitude, ont rapporté, non l'orbite de la Lune à l'écliptique, mais l'écliptique à l'orbite de la Lune ; trois raisons auraient dû, ce me semble les engager à en user autrement […].
2. Je dis plus […].
[…]
5. M. Clairaut dans sa Théorie de la Lune, page 40, ne donne que l'équation [maths], et cette équation ne coïncide avec la nôtre que dans le cas où [maths], c'est-à-dire où les deux orbites sont dans le même plan, ou dans celui de [maths], qui est le cas de l'immobilité de l'orbite lunaire. Il est vrai que dans l'endroit cité, M. Clairaut suppose ou semble supposer que le nœud soit regardé comme immobile, ce qui donnerait en effet les termes [maths] ; mais il paraît ensuite faire usage de la même équation [maths] dans la page 70 de la même théorie, ou il regarde le nœud comme mobile. On peut aussi remarquer que dans cette page 70, il substitue [maths].

6. Je crois pouvoir conclure de ces remarques, que l'analyse par laquelle cet habile géomètre a calculé les forces perturbatrices dans l'orbite réelle de la lune ne paraît pas exacte. Voici, ce me semble, la source de sa méprise ; j'invite ceux qui font en état d'en juger à examiner soigneusement cet article de sa théorie.
7. M. Clairaut remarque (pag[e] 60) que [maths] ; M. Clairaut remarque, dis-je, [maths], d'où il conclut, d'après ses dénominations, que la distance de la Lune au nœud sera à très-peu près [maths], ou, suivant nos dénominations [maths] ; au lieu que cette distance est réellement [maths], ce qui ne s'accorde pas avec l'équation donnée par M. Clairaut. Il est très vrai que [maths] à très peu près, comme l'avance M. Clairaut, mais il n'en faut pas conclure que [maths], même à peu près, parce que [maths], ou, en suivant les dénominations de M. Clairaut, et remarquant que [maths] qui n'est pas la même chofe que [maths]. D'ailleurs [maths].
[…]
9. Il paraît donc évident, que dans les calculs de la page 70 de la théorie de M. Clairaut déjà citée [C. 392=C. 412], il faut mettre [maths], ce qui doit rendre nécessairement les calculs beaucoup plus longs et plus compliqués. Nous avons cru devoir faire ici cette remarque pour l'utilité de ceux qui pourront travailler dans la fuite à perfectionner la théorie de la Lune, et qui voudraient calculer les mouvements de cette planète par rapport à son orbite réelle.
[…]
13. […] Il paraît donc qu'on ne doit point balancer à préférer ces deux dernières équations pour rendre les calculs de la Lune beaucoup plus courts et plus simples, quoique tous les géomètres qui jusqu'à présent ont traité là théorie de la Lune, aient suivi une méthode contraire.
[…]
27. […] De là, il est facile de voir comment ces équations pourront se réduire à celles de M. Clairaut, en mettant dans ces dernières [maths. Il est donc visible que l'équation de M. Clairaut, telle qu'il la présente, diffère de ce qu'elle devrait être, en ce point principal et essentiel que [maths].

28. Il me paraît encore que M. Clairaut n'est pas d'accord avec lui-même dans la valeur qu'il donne à l'argument de la latitude, c'est-à-dire à la distance réelle de la lune au nœud. Car dans l'évaluation des forces perturbatrices, il fait cet angle [maths] [Voyez sa Théorie, seconde édition [C. 392=C. 412] pag[e] 69 NDA], et dans la réduction à l'écliptique, il fait cet argument [maths] [Ibid. [C. 392=C. 412] pag[es] 99 et suiv[antes] et pag[es] 109 et suiv[antes]], deux suppositions qui ne paraissent exactes, ni l'une ni l'autre, par toutes les raisons exposées ci-dessus. [...] Ce n'est pas, je l'avoue, sans une juste défiance de mes lumières, que je remarque ces inadvertances échappées à un mathématicien pour l'ordinaire très exact, surtout, celle dont il est question dans cet article, et qu'il était, ce me semble très aisé d'apercevoir, supposé quelle soit aussi réelle qu'elle me le paraît ; quoique j'aie examiné avec soin la solution de M. Clairaut, je crains toujours de n'en avoir pas saisi l'esprit. La source principale de ses méprises, vient, ce me semble, de ce qu'il n'a pas fait assez d'attention à la double courbure de l'orbite réelle de la Lune, et de ce qu'il a en conséquence traité les angles [maths] ou la somme des angles [maths] comme un angle plan. J'invite les mathématiciens à examiner surtout cet article, et à juger si je suis fondé ou non dans mes objections.
29. Nous remarquerons enfin (et ceci mérite beaucoup d'attention) que quand on considère le mouvement dans, l'orbite réelle de la Lune, il ne faut point dans l'expression [maths]. C'est encore un point auquel il me semble que le savant géomètre dont nous venons de parler, n'a pas pris garde, ce qui était pourtant très nécessaire. […] Or il me semble que M. Clairaut a pris la quantité [maths] pour le mouvement moyen observé, en quoi il me paraît évident qu'il s'est mépris.
30. Malgré ces différentes méprises dans lesquelles il semble que M. Clairaut est tombé en calculant l'orbite de la Lune, le résultat qu'il donne pour l'expression du lieu de la Lune dans son orbite s'est trouvé assez exacte, parce que les méprises se sont à peu près compensées. Voici comment : [maths].
31. On dira peut-être que les observations, d'où la valeur du mouvement de l'apogée est tirée, donnent le mouvement de cet apogée dans l'orbite réelle, ett non le mouvement de l'apogée dans l'orbite projetée, mouvement représenté par [maths]. À cela il est facile de répondre Car 1°. Il est constant par le fait, que la valeur de la quantité [maths], prise par M. Clairaut et par les Astronomes, pour exprimer le mouvement réel de l'apside, est sensiblement la même que celle qui donne le mouvement de l'apside dans l'orbite projetée (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 295-327).

Dans le « XXXIXe mémoire. De l'intégration de l'orbite lunaire (et en général du problème des trois corps), et des difficultés qui s'y rencontrent » :
8. Feu M. Clairaut n'ayant pas publié le détail de ses calculs sur la théorie de la lune [Voyez ce qu'il dit à ce sujet dans la seconde édition de sa Théorie, Paris, 1765 [C. 392=C. 412], page 56 NDA], nous ne pouvons savoir s'il s'est conformé à la remarque que nous venons de faire, et sur laquelle nous avions déjà fort insisté ailleurs [Opuscules, tome II, p. 255 et suiv[antes] NDA, cf. 18 novembre 1761 (2) NDM] ; cependant, à en juger par les art[icles] 16 et 27 de la théorie de M. Clairaut, il paraît que ce savant géomètre a donné pour diviseurs aux coefficients de l'intégrale [maths], et non pas [maths] ; ce qui doit, comme on le verra plus bas, occasionner des erreurs considérables dans la valeur de certains coefficients.
9. […] Nous ne pouvons nous dispenser à cette occasion de remarquer la méprise qui est encore échappée à ce sujet à M. Clairaut (Journal des sçavans de juin 1762 [cf. [c. juin] 1762 (1)]. Il prétend que si on tombe dans l'équation [maths] qui renferme des arcs de cercle au moyen de la substitution dont on vient de parler, cette équation peut se changer en [maths], qui peut encore, selon lui, se changer en celle-ci [maths]. Telles sont les transformations par lesquelles ce célèbre mathématicien croit faire disparaître ses arcs de cercle de l'équation de l'orbite, et y substituer une ellipse mobile ; or ces opérations sont évidemment illusoires, puisqu'il n'est permis de supposer [maths], que quand [maths] est fort petit ; ainsi cette transformation ne peut représenter à peu près l'orbite que pendant un très petit nombre de révolutions, et non pour tant de révolutions qu'on voudra, comme on le demande dans la théorie de la lune. Avec un pareil artifice on ferait aussi disparaître les arcs de cercle dans les cas où la solution doit réellement en contenir (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 328-357).

Dans le « XLe mémoire. Examen de quelques autres points importants de la théorie de la Lune » :
2. Ces termes de l'équation de l'orbite lunaire ont été l'objet d'une longue contestation entre feu M. Clairaut et moi. Ce grand géomètre avoue (voyez sa Théorie de la Lune, première [C. 39] et seconde [C. 392=C. 412] édition, § XXVII) que ces termes se trouvent très grands par sa théorie ; et même qu'ils seraient infinis, si l'apogée du Soleil était immobile ; par la raison [maths]. Toutes les autres théories (à l'exception de celle de M. Clairaut ) sont en cela d'accord avec la mienne. On peut même faire voir que celle de M. Clairaut conduit au même résultat, en ayant recours à un expédient auquel cet académicien n'a pas pensé. Cet expédient consiste à remarquer [maths].
3. Ce même géomètre, qui trouve si grande par sa théorie l'équation proportionnelle [maths], prétend, d'un autre côté [Voyez le Journal des sçavans de décembre 1761, second volume, et celui de juin 1762 NDA, cf. [c. décembre] 1761 et [c. juin] 1762 (1) NDM], que si on la fait même monter à 18'', comme je l'avais trouvé d'abord, au lieu de 25'' que je trouve maintenant, les erreurs des observations en sont augmentées. On peut voir ce que je lui ai répondu ailleurs sur ce sujet [Voyez le Journal encyclopédique du 15 février 1762, et celui du 15 août de la même année NDA, cf. 18 janvier 1762 (1) et 5 juillet 1762 (1)]. Je me contenterai de dire aujourd'hui, que pour décider pleinement cette question, il faut voir quelle altération peut subir le coefficient de [maths].
4. Il est un autre terme qui demande beaucoup d'attention dans les calculs, c'est celui qui aurait pour coefficient [maths]. J'avais trouvé dans le calcul de l'orbite de la Lune qu'il en résultait une équation négative [maths]. M. Clairaut l'a trouvée d'abord positive [maths]. Dans ses dernières tables, il la suppose = 0, et M. Mayer n'y a non plus aucun égard ; à l'égard de M. Euler, il la trouve beaucoup plus grande. Il s'en faut donc beaucoup que la vraie valeur de cette équation soit encore connue.
5. Il en faut dire à peu près autant, quoiqu'avec restriction de l'équation du lieu qui a pour argument [maths], et qui aura pour diviseur, après les intégrations, une quantité de l'ordre de [maths]. Je l'ai trouvée de 2' 28'', M. Clairaut de 2' 13'', et enfuite de 3' 18'', ce qui se rapproche beaucoup de M. Mayer.
6. En général, une des grandes difficultés de la théorie de la Lune, consiste dans plusieurs termes dont le calcul est fondé fur une approximation très imparfaite, en sorte que les coefficients de ces termes ne font point représentés, comme ils devraient l'être, par une série convergente, mais se trouvent par une seconde approximation beaucoup plus grands ou plus petits que par la première ; ce qui en rend la valeur tout à fait incertaine. Pour s'en convaincre, il suffit de jeter les yeux sur la dernière formule du lieu de la lune donnée par M. Clairaut en 1765 [C. 392=C. 412],et sur celle qu'il avait donnée en 1752 [C. 39] ; on trouvera, outre les différences que nous venons de remarquer, que le coefficient du terme, qui a pour argument [maths] est dans ses premières tables [maths], et dans les secondes tables [maths].
7. Toutes ces différences, qu'on ne saurait attribuer, du moins sans exception, à de simples fautes de calcul commises dans les premières tables, prouveraient de nouveau, s'il était nécessaire, l'imperfection des méthodes d'approximation, pour déterminer au moins quelques équations de la Lune, et la nécessité de corriger, s'il est possible cette imperfection, pour l'avantage de l'analyse et de l'astronomie tout à la fois.
[…]
14. Je ne dois pas oublier d'ajouter en finissant que, quoique les tables dont les astronomes sont accoutumés à faire usage, donnent pour chaque argument les équations de la lune, tantôt positives, tantôt négatives, il me paraît plus commode de rendre toutes les équations positives, comme a fait M. Clairaut dans ses tables de la Lune ; ce qui s'exécute en cette sorte. Soit, par exemple, supposée avec M. Clairaut l'équation du centre [maths] [J'ignore pourquoi M. Clairaut (pag[e] 138 de la nouvelle édition de sa théorie [C. 392=C. 412]) ajoure 29' à cette équation, au lieu de 12' qui auraient suffit. Au reste, la grandeur de la quantité qu'on ajoute à chaque équation est indifférente, pourvu que cette quantité soit plus grande que la plus grande valeur de l'équation, et qu'on ait soin de retrancher du lieu moyen cette même quantité NDA] (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 358-390).

Dans le « XLIe mémoire. De la résistance que les planètes et les comètes peuvent éprouver dans leur mouvement » :
16. M. Clairaut, dans sa pièce sur le mouvement des comètes, qui a partagé le prix de l'Académie de Pétersbourg en 1762 [C. 56], a donné pour l'objet dont il s'agit une méthode fort élégante, dans laquelle il s'est glissé seulement une méprise de calcul, essentielle pour le résultat de la solution, mais très aisée à corriger. Ce savant géomètre fait voir que [maths]. Il est vrai

qu'on peut supprimer a, en regardant cette quantité comme l'unité, ce qui n'aura point d'inconvénient quand il s'agit de comparer les altérations dans deux ellipses où a sera à peu près la même ; mais quand il s'agira de comparer l'altération des révolutions d'une comète à l'altération de la révolution d'une planète quelconque, par exemple, de la Terre , alors la distance moyenne a n'étant pas la même dans les deux cas, il faudra nécessairement en tenir compte, ce que M. Clairaut n'a point fait.
17. Soit donc [maths], l'altération [...] de la distance moyenne de la comète sera à celle de la planète, comme [maths], par conséquent [...] l'altération ou la diminution des temps périodiques […] sera en raifon de [maths], et non pas simplement en raison de [maths] comme l'a cru M, Clairaut.
18. Ce savant trouve que dans la comète de 1759 [maths].
19. Ainsi, la diminution du temps périodique de la comète, en vertu de la résistance, est moins de [maths] fois la diminution du temps périodique de la Terre. M. Clairaut ne trouve que [maths] fois, ayant omis par mégarde les coefficients [maths] dans la comparaison des altérations des distances moyennes.
[…]
21. Au reste, nous avons supposé, avec M. Clairaut, dans les calculs précédents, que l'intensité R' de la résistance était la même pour la comète et pour la Terre, ce qui n'est vrai, qu'en supposant que l'éther soit par tout de densité uniforme, et que la comète et la Terre aient le même diamètre et la même densité. Ces deux suppositions, et surtout la dernière, peuvent être fort éloignées de la vérité ; en conséquence, le rapport trouvé des altérations du moyen mouvement peut être très différent de celui que nous lui avons assigné d'après les suppositions de M. Clairaut, les seules au reste qui puissent, quant à présent, être faites pour le calcul (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 391-424).

Dans le « XLIIe mémoire. Contenant différents écrits sur quelques sujets d'astronomie physique » :
III
1. J'ai déjà remarqué dans le Tome II de mes Opuscules, pag[e] 253 [cf. 18 novembre 1761 (2)], un inconvénient considérable des méthodes d'approximation pour trouver l'altération du mouvement des comètes par l'action de Jupiter et de Saturne, Cet inconvénient consiste en ce que l'altération produite par l'action réunie des deux planètes, se trouve quelquefois, par le calcul, plus éloignée de l'altération observée, que ne le serait l'altération produite par une seule ; au lieu que si les méthodes d'approximation n'étaient pas sujettes à des erreurs considérables, l'altération produite par les deux planètes devrait différer moins de l'altération réelle, que l'altération produite par une seule. J'ai donné au même endroit un exemple de cet inconvénient, d'après les calculs de M. Clairaut, pour la différence des périodes de 1531 à 1607, et de 1607 à 1682, En effet, par ces calculs, en n'ayant égard qu'à l'action de Jupiter, la différence calculée des deux périodes ne diffère que de 16 jours de la différence réelle observée ; au lieu qu'en ayant égard de plus à l'action de Saturne, la différence calculée diffère de la différence observée de 53 jours ; c'est-à-dire, qu'en ayant égard à l'action de Saturne, l'erreur de 16 jours, qui aurait dû être diminuée, a été au contraire augmentée de 17 jours.
2. M. Clairaut paraît s'être proposé d'infirmer cette : objection dans sa pièce envoyée à Pétersbourg sur l'altération des périodes de la comète [C. 56]. Il trouve, que pendant la révolution de 1531 à 1607, l'action de Jupiter a dû produire une altération de [maths].
3. Par la même pièce de M. Clairaut, l'action de Saturne, pendant la première période de 1531 à 1607, a produit une altération égale à [maths].
4. Ainsi, l'erreur qui n'aurait été que de 6 jours, en ayant égard à l'action de Jupiter seulement, a été de 23 jours, en ayant égard aux actions de Jupiter et de Saturne, ce qui ne devrait pas être ; l'action de Saturne aurait dû diminuer l'erreur d'environ 6 jours, pour que tout s'accordât, au lieu qu'elle l'augmente de 17.
5. M. Clairaut avait trouvé d'abord [maths] ; ici il trouve pour l'action de Jupiter [maths], ce qui rend l'erreur totale de 23 jours plus petite, à la vérité, que la première erreur de 33 j[ours], mais il n'en est pas moins vrai, que l'erreur est toujours augmentée par le calcul de l'action de Saturne, au lieu qu'elle devrait être diminuée.
6. Au reste, cette objection, comme je l'ai dit dans l'endroit cité, n'a point pour objet d'attaquer les calculs de M. Clairaut, dont on doit louer le travail et le courage ; mais seulement de faire voir combien., dans ce problème si compliqué, les méthodes d'approximation font imparfaites et sujettes à erreur.
7. L'inconvénient du calcul de M. Clairaut, dans la comparaison des périodes de 1531 et de 1607, n'a pas lieu dans celle des périodes de 1607 et 1682 ; car il trouve que [maths].
[…]
9. Au reste, quelque estimable que soit le travail de M. Clairaut, et quoique les erreurs qui ont pu se glisser dans son calcul doivent être imputées en grande partie à la nature du problème, cependant il en est aussi une partie qu'on pourrait rejeter sur l'imperfection de sa méthode à certains égards. C'est de quoi on pourra plus aisément juger en comparant la méthode de ce savant géomètre avec celle que j'ai donnée pour calculer les perturbations des comètes, et dans laquelle je crois avoir évité plusieurs inconvénients de la méthode de M. Clairaut. Ces inconvénients, et les avantages de ma méthode, font exposés dans le second volume de ces Opuscules, pag[es] 208 et suivantes. La source principale, selon moi, des erreurs qui peuvent s'être glissées dans les calculs de M. Clairaut, est celle que j'ai marquée pag[e] de l'ouvrage cité, N° 5. Elle consiste en ce que M. Clairaut est obligé de fixer, d'une manière vague et assez arbitraire, le temps où la comète passe à son périhélie à la fin de la seconde révolution, pour trouver la position de la planète perturbatrice ; sur quoi je renvoyé à l'endroit cité (Alembert 61-80, vol. 5, pp. 425-451).

D'Alembert reprend de façon posthume une discussion sur le problème des trois corps achevée avec Clairaut le 5 juillet 1762 (cf. 5 juillet 1762 (1)).

Le 3e volume des Opuscules avait paru en 1764 (cf. 11 juillet 1764 (1)).

Le 6e volume paraît en 1773 (cf. 1773 (2)).

C. 29 avait été mentionné (de façon implicite) dans le 1er volume (cf. 18 novembre 1761 (2)) et le sera encore dans les 6e (cf. 1773 (2)), 7e et 8e (cf. 1780 (1)).

Extrait dans le Journal encyclopédique :
Dans le premier volume de ce recueil (vol. 5), l'auteur confirme par de nouvelles preuves, ce qu'il avait démontré ailleurs, qu'il n'est pas vrai, comme M. Clairaut et d'autres savants géomètres l'ont cru, que dans un fluide hétérogène et en équilibre, les couches de différentes densités doivent être de niveau.
[…]
L'auteur détermine la forme la plus simple qu'on puisse donner à l'équation différentielle de l'orbite lunaire. Il cherche la manière la plus courte et la plus commode de l'intégrer. Il démontre à cette occasion, que M. Clairaut, dans sa théorie de la Lune, n'a pas fait assez d'attention à la double courbure de l'orbite cette planète, méprise qui aurait occasionné de grandes méprises dans son résultat, si elle n'avait pas été compensée par une autre méprise opposée, qui détruit à peu près l'effet de la première (Journal encyclopédique, février 1769, pp. 21-34).

Bossut :
D'après ces considérations, d'Alembert [(Alembert 61-80), vol. 4-5] a préféré l'orbite projetée, dans sa Théorie de la lune ; et il relève quelques petites erreurs échappées à Clairaut qui a employé l'orbite réelle (Bossut 10, pp. 436-437).
Abréviations
  • C. 29 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique, Paris, David fils, 1743, in-8°, XL-310p. fig [Télécharger] [13 décembre 1741 (1)] [(3 mars 1737) 20 février 1736] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [Plus].
  • C. 39 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionelle (sic) aux quarrés des distances... Pièce qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de Saint Pétersbourg en 1750..., Saint-Pétersbourg, 1752, in-4°, 92 p [Télécharger] [6 décembre 1750 (1)] [Sans date (1)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [Plus].
  • C. 392 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
  • C. 412 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
  • C. 56 : Clairaut (Alexis-Claude), Recherches sur la comète des années 1531, 1607, 1682 et 1759, pour servir de supplément à la théorie par laquelle on avait annoncé en 1758 le tems du retour de cette comète. Pièce de M. Clairaut... qui a remporté le prix proposé par l'Académie impériale de Saint Pétersbourg pour l'année 1761..., Saint-Pétersbourg, Impr. de l'Académie impériale des sciences, 1762, in-4°, 42 p. pl [Télécharger] [3 décembre 1761 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [[c. juin] 1757 (1)] [Plus].
  • NDA : Note de l'auteur.
  • NDM : Note de moi, Olivier Courcelle.
Références
Courcelle (Olivier), « 1768 (4) : Parution des vol. 4 et 5 des Opuscules de d'Alembert », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n1768po4pf.html [Notice publiée le 9 mai 2013].